B-Splines y splines de suavizado

La definición de recursión de Cox-de Boor del j-ésimo B-spline $$B_{j,k}\left(x\right)$$ con orden k y secuencia de nudos no decreciente $$t=(t_0,t_1,\dots ,t_n)$$ viene dada por las siguientes fórmulas:

$$\begin{array}{l}{B}_{j,1}(x)=\{\begin{array}{cc}1& t_j\le x<t_{j+1}\\ 0& x<t_j,t_{j+1}\le x\end{array}\\ B_{j,k+1}(x)=\frac{x-t_j}{t_{j+k-1}-t_j}{B}_{j,k-1}\left(x\right)+\frac{t_{j+k}-x}{t_{j+k}-t_{j+1}}{B}_{j+1,k-1}\left(x\right)\end{array}$$

La página de referencia de la interfaz bspligui enumera algunas de las propiedades básicas de los B-splines. Puede utilizar la interfaz para adquirir cierta experiencia con los B-splines. La propiedad más importante de los B-splines es el motivo por el que llevan la letra B en su nombre:

Todo espacio de polinomios por tramos (univariantes) de un orden dado tiene una Base formada por B-splines.

Propiedades de los B-splines

Como B_j,k es distinto de cero solo en el intervalo $$(t_j,t_{j+k})$$, el sistema lineal para los coeficientes de B-splines es anillado y fácil de resolver. Por ejemplo, para construir un spline s de orden k con la secuencia de nudos t₁ ≤ t₂ ≤--- ≤ t_n+k de forma que s(x_i)=y_i para i=1, ..., n, utilice el sistema lineal

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{B}_{j,k}}\left(x_i\right)a_j=y_i& i=1:n\end{array}$$

para los coeficientes desconocidos de B-splines a_j en los que cada ecuación tiene como máximo k entradas distintas de cero.

Además, muchos hechos teóricos relativos a los splines son más fáciles de enunciar o demostrar en términos de B-splines. Por ejemplo, es posible emparejar únicamente datos arbitrarios en los sitios $$x_1<\cdots <x_n$$ mediante un spline de orden k con la secuencia de nudos (t₁, ..., t_n+k) si y solo si B_j,k(x_j)≠0 para todo j (condiciones de Schoenberg-Whitney). Los cálculos con B-splines se ven facilitados por sus relaciones de recurrencia estables, que también son útiles en la conversión de B-form a ppform. El funcional dual

$$a_j\left(s\right):={\displaystyle \sum _{i<k}{\left(-D\right)}^{k-i-1}{\Psi }_j\left(\tau \right)}{D}^{i}s\left(\tau \right)$$

ofrece una expresión útil para el j-ésimo coeficiente de B-spline del spline s en cuanto a su valor y derivadas en un sitio arbitrario τ entre t_j y t_j+k, y con ψ_j(t):=(t_j+1–t)··· (t_j+k–1–t)/(k–1)!. Puede utilizarse para demostrar que a_j(s) guarda una estrecha relación con s en el intervalo [t_j..t_j+k] y parece el medio más eficaz para realizar la conversión de formato ppform a B-form.

Enfoque variacional y splines de suavizado

Este enfoque constructivo no es la única vía de acceso a los splines. En el enfoque variacional, se obtiene un spline como mejor interpolación, por ejemplo, como la función con la menor derivada m-ésima entre todas las que coinciden con valores de función prescritos en determinados sitios. Resulta que, entre los muchos splines de este tipo disponibles, solo los que son polinomios por tramos o, quizás, exponenciales por tramos han tenido mucho uso. Resulta de especial interés práctico el spline de suavizado s = s_p que, para unos datos dados (x_i,y_i) con x∊[a..b], todo i, y dados las correspondientes ponderaciones positivas w_i, y para un parámetro de suavizado p dado, minimiza

$$p{\displaystyle \sum _i{w}_i}{\left|y_i-f\left(x_i\right)\right|}^2+\left(1-p\right){\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}f(t)\right|}^{2}dt}$$

en todas las funciones f con m derivadas. Resulta que el spline de suavizado s es un spline de orden 2m con una ruptura en cada sitio de datos. El parámetro de suavizado, p, se elige ingeniosamente para conseguir el equilibrio adecuado entre querer que la medida de error

$$E\left(s\right)={\displaystyle \sum _i{w}_i{\left|y_i-s\left(x_i\right)\right|}^2}$$

sea pequeña y querer que la medida de rugosidad

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}s\left(t\right)\right|}^{2}dt}$$

sea pequeña. La intención es que s contenga la mayor cantidad posible de información y la menor cantidad posible del supuesto ruido de los datos. Un enfoque para esto (utilizado en spaps) es hacer que F(D^mf) sea lo más pequeño posible, a condición de que E(f) no sea mayor que una tolerancia prescrita. Por razones computacionales, spaps utiliza el parámetro de suavizado (equivalente) ρ=p/(1–p), es decir, minimiza ρE(f) + F(D^mf). Además, a veces es útil utilizar la medida de rugosidad más flexible

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b\lambda \left(t\right){\left|D^{m}s(t)\right|}^{2}dt}$$

siendo λ una función de ponderación positiva adecuada.

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