El ppform

Introducción a ppform

Una f polinomial definida por tramos univariada se especifica por su secuencia de interrupción breaks y el arreglo de coeficientes coefs de la forma de potencia local (consultar ecuación en Definición de ppform) de sus tramos polinomiales. Consulte Multivariate Tensor Product Splines para ver una discusión de polinomios definidos por tramos multivariados. Los coeficientes pueden ser vectores (columna), matrices e incluso arreglos n-dimensionales. En aras de la simplicidad, la presente discusión se refiere únicamente al caso en que los coeficientes son escalares.

Se asume que la secuencia de interrupción esté aumentando estrictamente,

breaks(1)
< breaks(2) < ... < breaks(l+1) 

siendo l el número de tramos polinomiales que componen f.

Si bien estos polinomios pueden ser de grados variantes, todos se registran como polinomios del mismo orden k, es decir, el arreglo del coeficiente coefs es de tamaño [l,k], conteniendo coefs(j,:) los coeficientes k en la forma de potencia local para el tramo polinomial j-ésimo, desde la potencia más alta a la más baja. Consulte la ecuación en Definición de ppform.

Definición de ppform

Los elementos breaks, coefs, l y k forman el ppform de f, junto con la dimensión d de sus coeficientes; normalmente d es igual a 1. El intervalo básico de esta forma es el intervalo [breaks(1) .. breaks(l+1)]. Es el intervalo predeterminado sobre el que el comando de representación fnplt representa una función en ppform.

En estos términos, la descripción precisa del polinomio por tramos f es

f(t) = polyval(coefs(j,:), t - breaks(j))

(1)

para breaks(j)≤t<breaks(j+1).

Aquí, polyval(a,x) es la función MATLAB^®; devuelve el número

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}a\left(j\right)x^{k-j}=a\left(1\right)x^{k-1}+a\left(2\right)x^{k-2}+\mathrm{...}+a\left(k\right)x^0}$$

Esto define f(t) solo para t en el intervalo semiabierto [breaks(1)..breaks(l+1)]. Para cualquier otra t, f(t) se define por

$$\begin{array}{cc}f\left(t\right)=polyval\left(coefs\left(j,:\right),t-breaks\left(j\right)\right)& \begin{array}{cc}j=& \begin{array}{c}1,t<breaks\left(1\right)\\ l,t\ge breaks\left(l+1\right)\end{array}\end{array}\end{array}$$

es decir, ampliando el primer, respectivamente último, tramo polinómico. De esta forma, una función en ppform tiene posibles saltos, en su valor o en el de sus derivadas, solo a través de las interrupciones interiores, breaks(2:l). Las interrupciones finales, breaks([1,l+1]), sirven principalmente para definir el intervalo básico del ppform.

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