Comparación gráfica de funciones exponenciales

Este ejemplo muestra un enfoque gráfico interesante para descubrir si ${\mathrm{e}}^{\pi }$ es mayor que ${\pi }^{\mathit{e}}$.

La pregunta es: ¿cuál es mayor, ${\mathrm{e}}^{\pi }$ o ${\pi }^{\mathit{e}}$? Una forma fácil de averiguarlo es escribirlo directamente en la línea de comandos de MATLAB®. Sin embargo, otra manera de analizar la situación es hacer una pregunta más general: ¿qué forma tiene la función $\mathit{z}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^{\mathit{y}}-{\mathit{y}}^{\mathit{x}}$?

A continuación, se muestra una gráfica de $\mathit{z}$.

% Define the mesh
x = 0:0.16:5;
y = 0:0.16:5;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);

% The plot
zz = xx.^yy-yy.^xx;
h = surf(x,y,zz);
h.EdgeColor = [0.7 0.7 0.7];
view(20,50);
colormap(hsv);
title('$z = x^y-y^x$','Interpreter','latex')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold on

La solución de la ecuación ${\mathit{x}}^{\mathit{y}}-{\mathit{y}}^{\mathit{x}}=0$ presenta una forma muy interesante y nuestra pregunta original no se resuelve fácilmente mediante observación. A continuación, se muestra una gráfica de los valores xy, que ofrecen un resultado de $\mathit{z}=0$.

c = contourc(x,y,zz,[0 0]);
list1Len = c(2,1);
xContour = [c(1,2:1+list1Len) NaN c(1,3+list1Len:size(c,2))];
yContour = [c(2,2:1+list1Len) NaN c(2,3+list1Len:size(c,2))];
% Note that the NAN above prevents the end of the first contour line from being
% connected to the beginning of the second line
line(xContour,yContour,'Color','k');

Algunas combinaciones de x e y a lo largo de la curva de color negro son números enteros. La siguiente gráfica muestra las soluciones en números enteros a la ecuación ${\mathit{x}}^{\mathit{y}}-{\mathit{y}}^{\mathit{x}}=0$. Observe que $2^4=4^2$ es la única solución en números enteros en la que $\mathit{x}\ne \mathit{y}$.

plot([0:5 2 4],[0:5 4 2],'r.','MarkerSize',25);

Finalmente, represente los puntos $\left(\pi ,\mathit{e}\right)$ y $\left(\mathit{e},\pi \right)$ en la superficie. El resultado muestra que ${\mathrm{e}}^{\pi }$ es efectivamente mayor que ${\pi }^{\mathit{e}}$ (aunque no por mucho).

e = exp(1);
plot([e pi],[pi e],'r.','MarkerSize',25);
plot([e pi],[pi e],'y.','MarkerSize',10);
text(e,3.3,'(e,pi)','Color','k', ...
   'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','bottom');
text(3.3,e,'(pi,e)','Color','k','HorizontalAlignment','left',...
   'VerticalAlignment','bottom');
hold off;

Compruebe los resultados.

e = exp(1);
e^pi

ans = 23.1407

pi^e

ans = 22.4592

Consulte también

exp | pi