Main Content

La traducción de esta página aún no se ha actualizado a la versión más reciente. Haga clic aquí para ver la última versión en inglés.

Distribución gamma

Visión general

La distribución gamma es una familia de curvas de dos parámetros. La distribución gamma modela sumas de variables aleatorias distribuidas exponencialmente y generaliza las distribuciones chi-cuadrado y las exponenciales.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ ofrece distintas formas de trabajar con la distribución gamma.

  • Cree un objeto de distribución de probabilidad GammaDistribution ajustando una distribución de probabilidad a datos de muestra (fitdist) o especificando valores de parámetros (makedist). Después, utilice las funciones del objeto para evaluar la distribución, generar números aleatorios, etc.

  • Trabaje con la distribución gamma de forma interactiva utilizando la app Distribution Fitter. Puede exportar un objeto de la app y utilizar las funciones del objeto.

  • Utilice funciones específicas de la distribución (gamcdf, gampdf, gaminv, gamlike, gamstat, gamfit, gamrnd, randg) con parámetros de distribución especificados. Las funciones específicas de la distribución pueden aceptar parámetros de varias distribuciones gamma.

  • Utilice funciones de distribución genéricas (cdf, icdf, pdf, random) con un nombre de distribución específico ('Gamma') y parámetros.

Parámetros

La distribución gamma utiliza los siguientes parámetros.

ParámetroDescripciónSoporte
a Formaa > 0
bEscalab > 0

La distribución gamma estándar tiene escala unitaria.

La suma de dos variables gamma aleatorias con los parámetros de forma a1 y a2, ambos con un parámetro de escala b, es una variable gamma aleatoria con el parámetro de forma a = a1 + a2 y el parámetro de escala b.

Estimación de parámetros

La función de verosimilitud es la función de densidad de probabilidad (pdf) vista como una función de los parámetros. Las estimaciones de máxima verosimilitud (MLE) son las estimaciones de parámetros que maximizan la función de probabilidad para los valores fijos de x.

Los estimadores de máxima verosimilitud de a y b para la distribución gamma son las soluciones a las ecuaciones simultáneas

loga^ψ(a^)=log(x¯/(i=1nxi)1/n)b^=x¯a^

, donde x¯ es la media de la muestra x1, x2, …, xn, y Ψ es la función digamma psi.

Para ajustar la distribución gamma a los datos y encontrar las estimaciones de parámetros, utilice gamfit, fitdist o mle. A diferencia de gamfit y mle que devuelven estimaciones de parámetros, fitdist devuelve el objeto de distribución de probabilidad ajustado GammaDistribution. Las propiedades del objeto a y b almacenan las estimaciones del parámetro.

Para ver un ejemplo, consulte Ajustar una distribución gamma a los datos.

Función de densidad de probabilidad

La pdf de la distribución gamma es

y=f(x|a,b)=1baΓ(a)xa1exb,

donde Γ( · ) es la función gamma.

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la pdf de una distribución gamma.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución gamma es

p=F(x|a,b)=1baΓ(a)0xta1etbdt.

El resultado p es la probabilidad de que una sola observación de una distribución gamma con parámetros a y b esté en el intervalo [0 x].

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la cdf de una distribución gamma.

La cdf gamma está relacionada con la función gamma incompleta gammainc por

f(x|a,b)=gammainc(xb,a).

Función de distribución acumulativa inversa

La función de distribución acumulativa inversa (icdf) de la distribución gamma en términos de la cdf gamma es

x=F1(p|a,b)={x:F(x|a,b)=p},

donde

p=F(x|a,b)=1baΓ(a)0xta1etbdt.

El resultado x es el valor tal que una observación de una distribución gamma con parámetros a y b esté en el intervalo [0 x] con probabilidad p.

La ecuación integral anterior no tiene una solución analítica conocida. gaminv utiliza un enfoque iterativo (método de Newton) para converger hacia la solución.

Estadística descriptiva

La media de la distribución gamma es ab.

La varianza de la distribución gamma es ab2.

Ejemplos

Ajustar una distribución gamma a los datos

Genere una muestra de 100 números aleatorios gamma con forma 3 y escala 5.

x = gamrnd(3,5,100,1);

Ajuste una distribución gamma usando fitdist.

pd = fitdist(x,'gamma')
pd = 
  GammaDistribution

  Gamma distribution
    a =  2.7783   [2.1374, 3.61137]
    b = 5.73438   [4.30198, 7.64372]

fitdist devuelve un objeto GammaDistribution. Los intervalos que aparecen junto a las estimaciones de los parámetros son los intervalos de confianza del 95% para los parámetros de la distribución.

Estime los parámetros a y b usando las funciones de distribución.

[muhat,muci] = gamfit(x) % Distribution specific function
muhat = 1×2

    2.7783    5.7344

muci = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

[muhat2,muci2] = mle(x,'distribution','gamma') % Generic function
muhat2 = 1×2

    2.7783    5.7344

muci2 = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

Calcular la pdf de una distribución gamma

Calcule las pdf de la distribución gamma con varios parámetros de forma y escala.

x = 0:0.1:50;
y1 = gampdf(x,1,10);
y2 = gampdf(x,3,5);
y3 = gampdf(x,6,4);

Represente las pdf.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Probability Density contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Calcular la cdf de una distribución gamma

Calcule las cdf de la distribución gamma con varios parámetros de forma y escala.

x = 0:0.1:50;
y1 = gamcdf(x,1,10);
y2 = gamcdf(x,3,5);
y3 = gamcdf(x,6,4);

Represente las cdf.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4',"Location","northwest")

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Cumulative Probability contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Comparar las pdf de distribución normal y gamma

La distribución tiene el parámetro de forma a y el parámetro de ampliación b. Para un a grande, a, la distribución gamma se aproxima estrechamente a la distribución normal con la media μ=ab y la varianza σ2=ab2.

Calcule la pdf de una distribución gamma con los parámetros a = 100 y b = 5.

a = 100;
b = 5;
x = 250:750;
y_gam = gampdf(x,a,b);

A modo de comparación, calcule la media, la desviación estándar y la pdf de la distribución normal a la que se aproxima gamma.

mu = a*b
mu = 500
sigma = sqrt(a*b^2)
sigma = 50
y_norm = normpdf(x,mu,sigma);

Represente las pdf de la distribución gamma y la distribución normal en la misma figura.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.')
title('Gamma and Normal pdfs')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

Figure contains an axes object. The axes object with title Gamma and Normal pdfs, xlabel Observation, ylabel Probability Density contains 2 objects of type line. These objects represent Gamma Distribution, Normal Distribution.

La pdf de la distribución normal se aproxima a la pdf de la distribución gamma.

Distribuciones relacionadas

  • Beta Distribution — La distribución beta es una distribución continua de dos parámetros que tiene los parámetros a (primer parámetro de forma) y b (segundo parámetro de forma). Si X1 y X2 tienen distribuciones gamma estándar con parámetros de forma a1 y a2, respectivamente, entonces Y=X1X1+X2 tiene una distribución beta con parámetros de forma a1 y a2.

  • Distribución chi-cuadrado — La distribución chi-cuadrado es una distribución continua de un parámetro que tiene el parámetro ν (grados de libertad). La distribución chi-cuadrado es igual a la distribución gamma con 2a = ν y b = 2.

  • Exponential Distribution — La distribución exponencial es una distribución continua de un parámetro que tiene el parámetro μ (media). La distribución exponencial es igual a la distribución gamma con a = 1 y b = μ. La suma de las variables k aleatorias distribuidas exponencialmente con la media μ es la distribución gamma con los parámetros a = k y μ = b.

  • Distribución de Nakagami — La distribución Nakagami es una distribución continua de dos parámetros que tiene un parámetro de forma µ y un parámetro de escala ω. Si x tiene una distribución Nakagami, entonces x2 tiene una distribución gamma con a = μ y ab = ω.

  • Distribución normal — La distribución normal es una distribución continua de dos parámetros que tiene los parámetros μ (media) y σ (desviación estándar). Cuando a es grande, la distribución gamma se aproxima mucho a una distribución normal con μ = ab y σ2 = ab2. Para ver un ejemplo, consulte Comparar las pdf de distribución normal y gamma.

Referencias

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[3] Hahn, Gerald J., and Samuel S. Shapiro. Statistical Models in Engineering. Wiley Classics Library. New York: Wiley, 1994.

[4] Lawless, Jerald F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2003.

[5] Meeker, William Q., and Luis A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Wiley Series in Probability and Statistics. Applied Probability and Statistics Section. New York: Wiley, 1998.

[6] Marsaglia, George, and Wai Wan Tsang. “A Simple Method for Generating Gamma Variables.” ACM Transactions on Mathematical Software 26, no. 3 (September 1, 2000): 363–72. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8.

Consulte también

| | | | | | | | | |

Temas relacionados