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La transformación inversa del radón

Definición de transformación de radón inverso

La función invierte la transformación Deradón y, por lo tanto, se puede utilizar para reconstruir imágenes.iradon

Como se describe en , dada una imagen y un conjunto de ángulos, la función se puede utilizar para calcular la transformación de radón.Transformación de radónIThetaradon

R = radon(I,theta);

A continuación, se puede llamar a la función para reconstruir la imagen a partir de los datos de proyección.iradonI

IR = iradon(R,theta);

En el ejemplo anterior, las proyecciones se calculan a partir de la imagen original.I

Tenga en cuenta, sin embargo, que en la mayoría de las áreas de aplicación, no hay ninguna imagen original a partir de la cual se formen proyecciones. Por ejemplo, la transformación de radón inversa se utiliza comúnmente en aplicaciones de tomografía. En la tomografía de absorción de rayos X, las proyecciones se forman midiendo la atenuación de la radiación que pasa a través de una muestra física en diferentes ángulos. La imagen original se puede considerar como una sección transversal a través de la muestra, en la que los valores de intensidad representan la densidad de la muestra. Las proyecciones se recogen utilizando hardware de propósito especial, y luego una imagen interna de la muestra es reconstruida por .iradon Esto permite imágenes no invasivas del interior de un cuerpo vivo u otro objeto opaco.

reconstruye una imagen a partir de proyecciones de vigas paralelas.iradon En , cada proyección se forma combinando un conjunto de integrales de línea a través de una imagen en un ángulo específico.Geometría de vigas paralelas

La figura siguiente ilustra cómo se aplica la geometría de haz paralelo en la tomografía de absorción de rayos X. Tenga en cuenta que hay un número igual de emisores y sensores.nn Cada sensor mide la radiación emitida por su emisor correspondiente, y la atenuación en la radiación da una medida de la densidad integrada, o masa, del objeto. Esto corresponde a la integral de línea que se calcula en la transformación Radón.

La geometría de viga paralela utilizada en la figura es la misma que la geometría que se describió en .Transformación de radón f(x,y) denota el brillo de la imagen y Rθ(x) es la proyección en ángulo theta.

Proyecciones de haz paralelo a través de un objeto

Otra geometría que se utiliza comúnmente es la geometría, en la que hay una fuente y sensores.viga de ventiladorn Para obtener más información, consulte .Proyección de haz de ventilador Para convertir datos de proyección de haz paralelo en datos de proyección de haz de ventilador, utilice la función.para2fan

Mejorar los resultados

utiliza el algoritmo para calcular la transformación de radón inversa.iradonproyección posterior filtrada Este algoritmo forma una aproximación de la imagen basada en las proyecciones en las columnas de .IR Se puede obtener un resultado más preciso utilizando más proyecciones en la reconstrucción. A medida que aumenta el número de proyecciones (la longitud de ) , la imagen reconstruida se aproxima con mayor precisión a la imagen original.ThetaIRI El vector debe contener valores angulares de aumento monótona con un ángulo incremental constante.ThetaDtheta Cuando se conoce el escalar, se puede pasar a en lugar de la matriz de theta valores.Dthetairadon Este es un ejemplo.

IR = iradon(R,Dtheta);

El algoritmo de proyección de retroceso filtrado filtra las proyecciones y, a continuación, reconstruye la imagen mediante las proyecciones filtradas.R En algunos casos, el ruido puede estar presente en las proyecciones. Para eliminar el ruido de alta frecuencia, aplique una ventana al filtro para atenuar el ruido. Muchos de estos filtros con ventanas están disponibles en .iradon La llamada de ejemplo a continuación aplica una ventana Hamming al filtro.iradon Consulte la página de referencia para obtener más información.iradon Para obtener datos de proyección sin filtrar, especifique el parámetro filter.'none'

IR = iradon(R,theta,'Hamming');

también le permite especificar una frecuencia normalizada, por encima de la cual el filtro tiene cero respuesta. debe ser un escalar en el rango [0,1].iradonDD Con esta opción, el eje de frecuencia se redimensiona para que todo el filtro se comprima para ajustarse al rango de frecuencias.[0,D] Esto puede ser útil en casos donde las proyecciones contienen poca información de alta frecuencia, pero hay ruido de alta frecuencia. En este caso, el ruido se puede suprimir por completo sin comprometer la reconstrucción. La siguiente llamada para establecer un valor de frecuencia normalizado de 0,85.iradon

IR = iradon(R,theta,0.85);

Reconstrucción de una imagen a partir de datos de proyección paralelos

Los siguientes comandos ilustran cómo reconstruir una imagen a partir de datos de proyección paralelos. La imagen de prueba es el fantasma de cabeza Shepp-Logan, que se puede generar utilizando la función.phantom La imagen fantasma ilustra muchas de las cualidades que se encuentran en las imágenes tomográficas del mundo real de las cabezas humanas. La cáscara elíptica brillante a lo largo del exterior es análoga a un cráneo, y las muchas elipses en el interior son análogas a las características cerebrales.

  1. Crea una imagen fantasma de cabeza Shepp-Logan.

    P = phantom(256); imshow(P)

  2. Calcula la transformación de Radón del cerebro fantasma para tres conjuntos diferentes de valores theta. tiene 18 proyecciones, tiene 36 proyecciones y 90 proyecciones.R1R2R3

    theta1 = 0:10:170; [R1,xp] = radon(P,theta1); theta2 = 0:5:175;  [R2,xp] = radon(P,theta2); theta3 = 0:2:178;  [R3,xp] = radon(P,theta3);
  3. Muestra una trama de una de las transformaciones de Radon del fantasma de cabeza Shepp-Logan. La figura siguiente muestra , la transformación con 90 proyecciones.R3

    figure, imagesc(theta3,xp,R3); colormap(hot); colorbar xlabel('\theta'); ylabel('x\prime');

    Transformación de radón de Head Phantom usando 90 proyecciones

    Observe cómo algunas de las características de la imagen de entrada aparecen en esta imagen de la transformación. La primera columna de la transformación Radón corresponde a una proyección a 0o que se está integrando en la dirección vertical. La columna más central corresponde a una proyección a 90o, que se está integrando en la dirección horizontal. La proyección a 90o tiene un perfil más ancho que la proyección a 0o debido al semieje vertical más grande de la elipse más externa del fantasma.

  4. Reconstruya la imagen fantasma de la cabeza a partir de los datos de proyección creados en el paso 2 y muestre los resultados.

    I1 = iradon(R1,10); I2 = iradon(R2,5); I3 = iradon(R3,2); imshow(I1) figure, imshow(I2) figure, imshow(I3)

    La siguiente figura muestra los resultados de las tres reconstrucciones. Observe cómo la imagen, que fue reconstruida a partir de sólo 18 proyecciones, es la reconstrucción menos precisa.I1 La imagen, que fue reconstruida a partir de 36 proyecciones, es mejor, pero todavía no es lo suficientemente clara como para discernir claramente las pequeñas elipses en la parte inferior de la imagen. , reconstruido utilizando 90 proyecciones, más parecido a la imagen original.I2I3 Observe que cuando el número de proyecciones es relativamente pequeño (como en y ), la reconstrucción puede incluir algunos artefactos de la proyección posterior.I1I2

    Transformaciones inversas de radon del Shepp-Logan Head Phantom