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Mínimos cuadrados no lineales, basado en problemas

Este ejemplo muestra cómo realizar el ajuste de curvas de mínimos cuadrados no lineales con Flujo de trabajo de optimización basada en problemas.

Modelo

La ecuación modelo para este problema es

y(t)=A1exp(r1t)+A2exp(r2t),

donde A1, A2, r1 y r2 son los parámetros desconocidos, y es la respuesta y t es el tiempo. Este problema requiere datos para tiempos tdata y mediciones de respuesta (ruidosas) ydata. El objetivo es encontrar el mejor valor de A y r, es decir, aquellos valores que minimizan

ttdata(y(t)-ydata)2.

Muestrear datos

Habitualmente, tiene datos para un problema. En este caso, genere datos ruidosos artificiales para el problema. Utilice A = [1,2] y r = [-1,-3] como valores subyacentes, y utilice 200 valores aleatorios de 0 a 3 como datos de tiempo. Represente los puntos de datos resultantes.

rng default % For reproducibility
A = [1,2];
r = [-1,-3];
tdata = 3*rand(200,1);
tdata = sort(tdata); % Increasing times for easier plotting
noisedata = 0.05*randn(size(tdata)); % Artificial noise
ydata = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata) + noisedata;
plot(tdata,ydata,'r*')
xlabel 't'
ylabel 'Response'

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

Los datos son ruidosos. Por ello, es probable que la solución no coincida demasiado bien con los parámetros originales A y r.

Enfoque basado en problemas

Para encontrar los parámetros A y r que mejor se ajusten, defina primero variables de optimización con esos nombres.

A = optimvar('A',2);
r = optimvar('r',2);

Cree una expresión para la función objetivo, que es la suma de los cuadrados que se desean minimizar.

fun = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
obj = sum((fun - ydata).^2);

Cree un problema de optimización con la función objetivo obj.

lsqproblem = optimproblem("Objective",obj);

Para el enfoque basado en problemas, especifique el punto inicial como una estructura, con los nombres de variable como campos de la estructura. Especifique el valor A = [1/2,3/2] inicial y el valor r = [-1/2,-3/2] inicial.

x0.A = [1/2,3/2];
x0.r = [-1/2,-3/2];

Revise la formulación del problema.

show(lsqproblem)
  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       A, r

	minimize :
       sum(arg6)

       where:

         arg5 = extraParams{3};
         arg6 = (((A(1) .* exp((r(1) .* extraParams{1})))
     + (A(2) .* exp((r(2) .* extraParams{2})))) - arg5).^2;

         extraParams{1}:

         0.0139
         0.0357
         0.0462
         0.0955
         0.1033
         0.1071
         0.1291
         0.1385
         0.1490
         0.1619
         0.1793
         0.2276
         0.2279
         0.2345
         0.2434
         0.2515
         0.2533
         0.2894
         0.2914
         0.2926
         0.3200
         0.3336
         0.3570
         0.3700
         0.3810
         0.3897
         0.3959
         0.4082
         0.4159
         0.4257
         0.4349
         0.4366
         0.4479
         0.4571
         0.4728
         0.4865
         0.4878
         0.4969
         0.5070
         0.5136
         0.5455
         0.5505
         0.5517
         0.5606
         0.5669
         0.5898
         0.6714
         0.6869
         0.7043
         0.7197
         0.7199
         0.7251
         0.7306
         0.7533
         0.7628
         0.7653
         0.7725
         0.7796
         0.7889
         0.7914
         0.8281
         0.8308
         0.8355
         0.8575
         0.8890
         0.9190
         0.9336
         0.9513
         1.0114
         1.0132
         1.0212
         1.0500
         1.0529
         1.0550
         1.0595
         1.1055
         1.1077
         1.1413
         1.1447
         1.1692
         1.1767
         1.1993
         1.2054
         1.2117
         1.2518
         1.2653
         1.2942
         1.3076
         1.3162
         1.3280
         1.3368
         1.3404
         1.3516
         1.3528
         1.4082
         1.4199
         1.4561
         1.4604
         1.4678
         1.4693
         1.4726
         1.4951
         1.5179
         1.5255
         1.5323
         1.5397
         1.5856
         1.5924
         1.6150
         1.6406
         1.6410
         1.6416
         1.6492
         1.6496
         1.7035
         1.7065
         1.7256
         1.7391
         1.7558
         1.7558
         1.8059
         1.8481
         1.8662
         1.8769
         1.8971
         1.9389
         1.9432
         1.9473
         1.9622
         1.9653
         1.9664
         1.9672
         2.0362
         2.0391
         2.0603
         2.0676
         2.0845
         2.0972
         2.1181
         2.1281
         2.1952
         2.2294
         2.2341
         2.2445
         2.2538
         2.2612
         2.2641
         2.2716
         2.2732
         2.2966
         2.3247
         2.3271
         2.3375
         2.3407
         2.3408
         2.3766
         2.3829
         2.3845
         2.3856
         2.4002
         2.4008
         2.4429
         2.4442
         2.4519
         2.4529
         2.4636
         2.4704
         2.4775
         2.4925
         2.5222
         2.5474
         2.5591
         2.6061
         2.6079
         2.6727
         2.7002
         2.7081
         2.7174
         2.7319
         2.7400
         2.7401
         2.7472
         2.7516
         2.7878
         2.7882
         2.8020
         2.8020
         2.8262
         2.8344
         2.8507
         2.8684
         2.8715
         2.8725
         2.8779
         2.8785
         2.8792
         2.8857
         2.8947
         2.9118
         2.9884

       extraParams{2}:

         0.0139
         0.0357
         0.0462
         0.0955
         0.1033
         0.1071
         0.1291
         0.1385
         0.1490
         0.1619
         0.1793
         0.2276
         0.2279
         0.2345
         0.2434
         0.2515
         0.2533
         0.2894
         0.2914
         0.2926
         0.3200
         0.3336
         0.3570
         0.3700
         0.3810
         0.3897
         0.3959
         0.4082
         0.4159
         0.4257
         0.4349
         0.4366
         0.4479
         0.4571
         0.4728
         0.4865
         0.4878
         0.4969
         0.5070
         0.5136
         0.5455
         0.5505
         0.5517
         0.5606
         0.5669
         0.5898
         0.6714
         0.6869
         0.7043
         0.7197
         0.7199
         0.7251
         0.7306
         0.7533
         0.7628
         0.7653
         0.7725
         0.7796
         0.7889
         0.7914
         0.8281
         0.8308
         0.8355
         0.8575
         0.8890
         0.9190
         0.9336
         0.9513
         1.0114
         1.0132
         1.0212
         1.0500
         1.0529
         1.0550
         1.0595
         1.1055
         1.1077
         1.1413
         1.1447
         1.1692
         1.1767
         1.1993
         1.2054
         1.2117
         1.2518
         1.2653
         1.2942
         1.3076
         1.3162
         1.3280
         1.3368
         1.3404
         1.3516
         1.3528
         1.4082
         1.4199
         1.4561
         1.4604
         1.4678
         1.4693
         1.4726
         1.4951
         1.5179
         1.5255
         1.5323
         1.5397
         1.5856
         1.5924
         1.6150
         1.6406
         1.6410
         1.6416
         1.6492
         1.6496
         1.7035
         1.7065
         1.7256
         1.7391
         1.7558
         1.7558
         1.8059
         1.8481
         1.8662
         1.8769
         1.8971
         1.9389
         1.9432
         1.9473
         1.9622
         1.9653
         1.9664
         1.9672
         2.0362
         2.0391
         2.0603
         2.0676
         2.0845
         2.0972
         2.1181
         2.1281
         2.1952
         2.2294
         2.2341
         2.2445
         2.2538
         2.2612
         2.2641
         2.2716
         2.2732
         2.2966
         2.3247
         2.3271
         2.3375
         2.3407
         2.3408
         2.3766
         2.3829
         2.3845
         2.3856
         2.4002
         2.4008
         2.4429
         2.4442
         2.4519
         2.4529
         2.4636
         2.4704
         2.4775
         2.4925
         2.5222
         2.5474
         2.5591
         2.6061
         2.6079
         2.6727
         2.7002
         2.7081
         2.7174
         2.7319
         2.7400
         2.7401
         2.7472
         2.7516
         2.7878
         2.7882
         2.8020
         2.8020
         2.8262
         2.8344
         2.8507
         2.8684
         2.8715
         2.8725
         2.8779
         2.8785
         2.8792
         2.8857
         2.8947
         2.9118
         2.9884

       extraParams{3}:

         2.9278
         2.7513
         2.7272
         2.4199
         2.3172
         2.3961
         2.2522
         2.1974
         2.1666
         2.0944
         1.9566
         1.7989
         1.7984
         1.7540
         1.8318
         1.6745
         1.6874
         1.5526
         1.5229
         1.5680
         1.4784
         1.5280
         1.3727
         1.2968
         1.4012
         1.3602
         1.2714
         1.1773
         1.2119
         1.2033
         1.2037
         1.1729
         1.1829
         1.1602
         1.0448
         1.0320
         1.0397
         1.0334
         1.0233
         1.0275
         0.8173
         0.9373
         1.0202
         0.8896
         0.9791
         0.9128
         0.7763
         0.7669
         0.6579
         0.7135
         0.7978
         0.7164
         0.7071
         0.6429
         0.6676
         0.6782
         0.6802
         0.6328
         0.6301
         0.7406
         0.4908
         0.7126
         0.6136
         0.6269
         0.4668
         0.4963
         0.5007
         0.5226
         0.3764
         0.4824
         0.3930
         0.4390
         0.4665
         0.4490
         0.4841
         0.4539
         0.3698
         0.3974
         0.3356
         0.3045
         0.4131
         0.3561
         0.3506
         0.3960
         0.3625
         0.3446
         0.3778
         0.3565
         0.3187
         0.2677
         0.2664
         0.3572
         0.2129
         0.2919
         0.1764
         0.3210
         0.3016
         0.2572
         0.2514
         0.1301
         0.2825
         0.1372
         0.1243
         0.2421
         0.1888
         0.2547
         0.2559
         0.2632
         0.1801
         0.2309
         0.2134
         0.2495
         0.2332
         0.2512
         0.1875
         0.1861
         0.2397
         0.0803
         0.1579
         0.1196
         0.1541
         0.1978
         0.2034
         0.1095
         0.1332
         0.1567
         0.1345
         0.1635
         0.1661
         0.0991
         0.1366
         0.0387
         0.1922
         0.1031
         0.0714
         0.1178
         0.0568
         0.1255
         0.0957
         0.2313
         0.1710
        -0.0148
         0.1316
         0.0385
         0.0946
         0.1147
         0.1436
         0.0917
         0.1840
         0.0786
         0.1161
         0.1327
         0.1026
         0.1421
         0.1142
         0.0553
         0.0036
         0.1866
         0.0634
         0.0974
         0.1203
         0.0939
         0.0429
         0.0640
         0.0811
         0.1603
         0.0427
         0.1244
         0.0993
         0.0696
         0.0264
         0.0641
         0.0703
         0.0010
         0.0793
         0.0267
         0.0625
         0.0834
         0.0204
         0.0507
         0.0826
        -0.0272
         0.1161
         0.1832
         0.1100
         0.0453
         0.0826
         0.0079
         0.1531
         0.1052
         0.0965
         0.0132
         0.0729
         0.0287
         0.0410
         0.0280
         0.0049
         0.0102
         0.0442
        -0.0343

Solución basada en problemas

Resuelva el problema.

[sol,fval] = solve(lsqproblem,x0)
Solving problem using lsqnonlin.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.
sol = struct with fields:
    A: [2x1 double]
    r: [2x1 double]

fval = 0.4724

Represente la solución resultante y los datos originales.

figure
responsedata = evaluate(fun,sol);
plot(tdata,ydata,'r*',tdata,responsedata,'b-')
legend('Original Data','Fitted Curve')
xlabel 't'
ylabel 'Response'
title("Fitted Response")

Figure contains an axes object. The axes object with title Fitted Response contains 2 objects of type line. These objects represent Original Data, Fitted Curve.

La gráfica muestra que los datos ajustados coinciden bastante bien con los datos ruidosos originales.

Compruebe lo bien que coinciden los parámetros ajustados con los parámetros originales A = [1,2] y r = [-1,-3].

disp(sol.A)
    1.1615
    1.8629
disp(sol.r)
   -1.0882
   -3.2256

Los parámetros ajustados difieren en un 15% con respecto a A y en un 8% con respecto a r.

Las funciones no compatibles requieren fcn2optimexpr

Si la función objetivo no está compuesta por funciones elementales, deberá convertir la función en una expresión de optimización utilizando fcn2optimexpr. Consulte Convert Nonlinear Function to Optimization Expression. Para el presente ejemplo:

fun = @(A,r) A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
response = fcn2optimexpr(fun,A,r);
obj = sum((response - ydata).^2);

El resto de los pasos para resolver el problema son idénticos. La única diferencia está en la rutina de representación, donde llama a response en lugar de a fun:

responsedata = evaluate(response,sol);

Para ver la lista de funciones compatibles, consulte Supported Operations for Optimization Variables and Expressions.

Consulte también

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