Modelar un circuito RLC en serie

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Los sistemas físicos pueden describirse de forma implícita, como una serie de ecuaciones diferenciales, $F\left(t,x,\dot{\left\lbrace x\right\rbrace } \right)=0$ , o de forma implícita, como un espacio de estados $E\dot{x} =A\;x+B\;u\;$

Si $E$ no es singular, el sistema puede convertirse fácilmente a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y resolverse de la siguiente forma:

$\dot{x} =\left(E^{-1} A\right)x+\left(E^{-1} B\right)u$

A menudo, los estados de un sistema aparecen sin una relación directa con sus derivadas; normalmente representan leyes de conservación física. Por ejemplo:

$\begin{array}{l}\dot{x_1 } =x_2 \\0\;=x_1 +x_2 \end{array}$

En este caso, $E$ es singular y no puede invertirse. Esta clase de sistemas se denominan habitualmente sistemas descriptores y las ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales algebraicas (DAEs).

Circuito RLC en serie

Considere el circuito RLC en serie.

A partir de las leyes de voltaje de Kirchoff, la caída de voltaje en todo el circuito es igual a la suma de la caída de voltaje en la totalidad de sus elementos:

$V_{AC} = V_R+V_L+V_C$

A partir de la ley actual de Kirchoff:

$I_{AC}=I_R=I_L=I_C$

donde los subíndices $R$ , $L$ y $C$ denotan la resistencia, la inductancia y la capacitancia, respectivamente.

$V_{R} =I\left(t\right)R$

$V_L =L\dot{I_L }$ o $\dot{I_L } = \frac{1}{L}V_L$

$V_C =V_{AC} \left(0\right)+\int_0^t I_C \left(\tau \right)d\tau$ o $\dot{V_c } =\frac{1}{C}I_c$

De forma implícita, como un espacio de estados

Modele el sistema en Simulink con $R=10\;\Omega$ , $L=1\times {10}^{-6} \;H$ , $C=1\times {10}^{-4} F$ para encontrar el voltaje en toda la resistencia $V_R$ . Para usar el bloque Descriptor State-Space, el sistema puede desarrollarse de forma implícita o descriptor como un espacio de estados $E\dot{x}=Ax+Bu$ , según se muestra a continuación.

$\left\lbrack \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0
& 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack
\left\lbrack \begin{array}{c}\dot{V_C } \\\dot{V_L } \\\dot{V_R } \\\dot{I_L
} \\\dot{I_{AC} } \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0
& 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & R & 0\\0 & \frac{1}{L}
& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}V_C
\\V_L \\V_R \\I_L \\I_{AC} \end{array}\right\rbrack +\left\lbrack \begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right\rbrack
V_{AC}$

donde $x = {\left\lbrack \begin{array}{ccccc}V_C &V_L& V_R& I_L& I_{AC}\end{array}\right\rbrack}^T$ es el vector de estado.

Establezca $C=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0&0& 1& 0&0\end{array}\right\rbrack$ , ya que se está midiendo el voltaje en toda la resistencia.

Compare esto con modelar el sistema con un bucle algebraico para encontrar $V_R$ .

La simulación de ambos modelos genera el mismo resultado. Sin embargo, el bloque Descriptor State-Space permite crear un diagrama de bloque más sencillo y evitar bucles algebraicos.

Consulte también

Algebraic Loop Concepts

Model Differential Algebraic Equations