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pade

Aproximación de Padé de modelos con retardo de tiempo

    Descripción

    pade aproxima retardos de tiempo para modelos LTI de tiempo continuo. Estas aproximaciones son útiles para modelar los efectos de retardos de tiempo, como los retardos de transporte y computación dentro del contexto de sistemas de tiempo continuo. La transformada de Laplace de un retardo de tiempo de T segundos es exp(–sT). Esta función de transferencia exponencial se aproxima mediante una función de transferencia racional que utiliza las fórmulas de aproximación de Padé de [1].

    Para aproximar modelos de tiempo discreto, utilice absorbDelay.

    Consulte Time Delays in Linear Systems para obtener más información sobre modelos con retardos de tiempo.

    ejemplo

    [num,den] = pade(T,N) devuelve la aproximación de Padé de orden N del retardo de tiempo T en forma de función de transferencia. Los vectores fila num y den de salida contienen los coeficientes del numerador y denominador en potencias decrecientes de s. num y den son polinomios de N-ésimo orden.

    ejemplo

    pade(T,N) representa las respuestas al escalón y en fase de la aproximación de Padé de N-ésimo orden y las compara con las respuestas exactas del modelo con retardo de tiempo T. La aproximación de Padé resultante tiene ganancia unitaria en todas las frecuencias.

    ejemplo

    sysx = pade(sys,N) genera una aproximación sin retardos sysx del sistema de retardo de tiempo continuo sys. Todos los retardos se sustituyen por su aproximación de Padé de N-ésimo orden.

    ejemplo

    sysx = pade(sys,NU,NY,NINT) especifica órdenes de aproximación independientes para cada retardo de entrada, de salida, interno o de E/S utilizando los vectores NU, NY y NINT, respectivamente. Puede utilizar valores escalares de NU, NY o NINT para especificar un orden de aproximación uniforme. También puede definir algunas entradas de NU, NY o NINT como Inf para evitar la aproximación de los retardos correspondientes.

    Ejemplos

    contraer todo

    Para este ejemplo, calcule los coeficientes del numerador y denominador sin retardos para un retardo de tiempo de 1.8 segundos para un sistema de segundo orden.

    T = 1.8;
    N = 2;
    [num,den] = pade(T,N)
    num = 1×3
    
        1.0000   -3.3333    3.7037
    
    
    den = 1×3
    
        1.0000    3.3333    3.7037
    
    

    También puede representar las respuestas al escalón y en fase de la aproximación sin retardos y el sistema original con retardo de tiempo. Use el comando pade sin argumentos de salida para generar las gráficas comparativas.

    pade(T,N)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 2: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    Para este ejemplo, encuentre la aproximación de Padé del siguiente sistema de lazo abierto y tiempo continuo.

    example1_open_loop.png

    Cree el sistema de lazo abierto con un retardo de salida.

    s = tf('s');
    T = 2.6;
    sys = exp(-T*s)/(s^2+0.9*s+1)
    sys =
     
                           1
      exp(-2.6*s) * ---------------
                    s^2 + 0.9 s + 1
     
    Continuous-time transfer function.
    

    sys es un objeto de función de transferencia de segundo orden (tf) con un retardo de tiempo.

    Después, calcule la aproximación de Padé de primer orden de sys.

    sysx = pade(sys,1)
    sysx =
     
                 -s + 0.7692
      ----------------------------------
      s^3 + 1.669 s^2 + 1.692 s + 0.7692
     
    Continuous-time transfer function.
    

    pade reemplaza todos los retardos de tiempo de sys con una aproximación de primer orden. Por tanto, sysx es una función de transferencia de tercer orden sin retardos.

    También puede representar y comprar las respuestas al escalón y en fase del modelo aproximado sin retardos y del modelo con retardo de tiempo. Utilice el retardo de tiempo y los valores de orden para crear la gráfica.

    pade(T,1)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 1: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    Calcule una aproximación de Padé de tercer orden de un retardo de E/S de 0,1 segundos.

    s = tf('s');
    sys = exp(-0.1*s);    
    sysx = pade(sys,3)
    sysx =
     
      -s^3 + 120 s^2 - 6000 s + 1.2e05
      --------------------------------
      s^3 + 120 s^2 + 6000 s + 1.2e05
     
    Continuous-time transfer function.
    

    En este caso, sys es una representación de sistema dinámico del retardo de tiempo exacto de 0,1 s. sysx es una función de transferencia que aproxima ese retardo.

    Compare las respuestas en el tiempo y en frecuencia del retardo verdadero y su aproximación. Llamar al comando pade sin argumentos de salida genera las gráficas comparativas. En este caso, el primer argumento para pade tan solo es la magnitud del retardo de tiempo exacto, en lugar de un sistema dinámico que representa el retardo de tiempo.

    pade(0.1,3)

    Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Pade approximation of order 3: step response comparison contains 2 objects of type line. These objects represent Pade approximation, Pure delay. Axes object 2 with title Phase response comparison contains 2 objects of type line.

    Para este ejemplo, considere el modelo de espacio de estados MIMO sys incluido en ssModel.mat. sys tiene dos entradas y tres salidas, y contiene retardo interno, de entrada y de salida.

    Cargue los datos y examine sys.

    load('ssModel.mat','sys')
    sys
    sys =
     
      A = 
                x1       x2
       x1    2.893    1.497
       x2  -0.1138  -0.5279
     
      B = 
                 u1        u2
       x1    -1.334    -4.155
       x2     1.127  -0.06161
     
      C = 
                x1       x2
       y1   -2.416  -0.6317
       y2    1.688    1.063
       y3    3.509     1.84
     
      D = 
               u1      u2
       y1   1.019   1.999
       y2       0  -3.658
       y3       0  -5.885
     
      (values computed with all internal delays set to zero)
    
      Input delays (seconds): 1.5  0.3 
      Output delays (seconds): 0.2  0.8  1.3 
      Internal delays (seconds): 2.1  1.3 
     
    Continuous-time state-space model.
    

    Especifique los órdenes de aproximación para el retardo interno, de entrada y de salida, y calcule la aproximación de Padé. Establezca los órdenes de aproximación en Inf para evitar la aproximación de los retardos correspondientes.

    NU = [3 Inf];
    NY = [1 Inf 2];
    NINT = [Inf 2];
    sysx = pade(sys,NU,NY,NINT)
    sysx =
     
      A = 
                 x1       x2       x3       x4       x5       x6       x7
       x1       -10        0        0   -9.665   -2.527   -7.305        0
       x2         0   -4.615    -3.55    14.04    7.358    21.51        0
       x3         0        2        0        0        0        0        0
       x4         0        0        0    2.893    1.497    4.115        0
       x5         0        0        0  -0.1138  -0.5279  -0.2169        0
       x6         0        0        0   -8.011   -3.193   -4.615    -3.55
       x7         0        0        0        0        0        2        0
       x8         0        0        0        0        0        0        0
       x9         0        0        0        0        0        0        0
       x10        0        0        0        0        0        0        0
     
                 x8       x9      x10
       x1      16.3        0    4.527
       x2         0        0        0
       x3         0        0        0
       x4    -5.335        0   -1.482
       x5      4.51        0    1.253
       x6         0        0        0
       x7         0        0        0
       x8        -8   -6.667   -2.222
       x9         4        0        0
       x10        0        4        0
     
      B = 
                  u1        u2
       x1     -4.075     7.996
       x2          0    -23.54
       x3          0         0
       x4      1.334    -4.155
       x5     -1.127  -0.06161
       x6          0      10.1
       x7          0         0
       x8          4         0
       x9          0         0
       x10         0         0
     
      C = 
               x1      x2      x3      x4      x5      x6      x7      x8
       y1       5       0       0   2.416  0.6317   1.826       0  -4.075
       y2       0       0       0   1.688   1.063   3.074       0       0
       y3       0  -2.308       0   3.509    1.84   5.377       0       0
     
               x9     x10
       y1       0  -1.132
       y2       0       0
       y3       0       0
     
      D = 
               u1      u2
       y1   1.019  -1.999
       y2       0  -3.658
       y3       0  -5.885
     
      (values computed with all internal delays set to zero)
    
      Input delays (seconds): 0  0.3 
      Output delays (seconds): 0  0.8  0 
      Internal delays (seconds): 2.1 
     
    Continuous-time state-space model.
    

    La aproximación resultante sysx aún tiene retardo interno, de entrada y de salida específicos donde los órdenes de aproximación correspondientes son Inf.

    Argumentos de entrada

    contraer todo

    Valor de retardo de tiempo, especificado como escalar positivo. La aproximación de Padé de un retardo cero (T = 0) es siempre una ganancia unitaria.

    Orden deseado del modelo de aproximación de tiempo continuo, especificado como entero positivo.

    Sistema dinámico con retardo de tiempo, especificado como un modelo de sistema dinámico SISO o MIMO. Se admiten los siguientes tipos de sistemas dinámicos:

    • Modelos LTI de tiempo continuo, como los modelos tf, zpk y ss.

    • Modelos dispersos, como los modelos sparss y mechss.

    • Modelos LTI generalizados o con incertidumbre, como modelos genss o uss (Robust Control Toolbox). (El uso de modelos con incertidumbre requiere una licencia de Robust Control Toolbox™).

      El modelo resultante asume

      • Los valores actuales de los componentes ajustables para bloques de diseño de control ajustables.

      • Los valores nominales del modelo para bloques de diseño de control con incertidumbre.

    • Modelos frd de respuesta en frecuencia. Para modelos de respuesta en frecuencia, utilice el comando delay2z para absorber retardos en la respuesta en frecuencia sin aproximación.

    Para modelos de tiempo discreto, utilice absorbDelay.

    Órdenes de aproximación para el canal de entrada, especificadas como

    • Escalar, para usar el mismo orden de aproximación en todas las entradas.

    • Vector, para especificar valores individuales de orden de aproximación en cada entrada. Puede utilizar Inf para entradas específicas con el fin de evitar la aproximación de los retardos correspondientes.

    Órdenes de aproximación para el canal de salida, especificados como

    • Escalar, para usar el mismo orden de aproximación en todas las salidas.

    • Vector, para especificar valores individuales de orden de aproximación en cada salida. Puede utilizar Inf para salidas específicas con el fin de evitar la aproximación de los retardos correspondientes.

    Órdenes de aproximación para retardo de E/S (funciones de transferencia o modelos de cero-polo-ganancia) o retardo interno (modelos de espacio de estados), especificados como

    • Escalar, para usar el mismo orden de aproximación en todos los retardos internos o de E/S.

    • Vector, para especificar valores individuales de orden de aproximación para retardo interno o de E/S. Puede utilizar Inf para E/S específicas con el fin de evitar la aproximación de los retardos correspondientes.

    Argumentos de salida

    contraer todo

    Coeficientes del numerador de la función de transferencia sin retardos, devueltos como un vector fila.

    Coeficientes del denominador de la función de transferencia sin retardos, devueltos como un vector fila.

    Sistema con aproximación de Padé, devuelto como un objeto de modelo del mismo tipo que sys.

    Limitaciones

    • La aproximación de Padé solo es válida en frecuencias bajas y proporciona una mejor aproximación en el dominio de la frecuencia que en el dominio del tiempo. Por tanto, compare las respuestas reales y aproximadas para elegir el orden de aproximación adecuado y compruebe la validez de la aproximación.

    • Las aproximaciones de Padé de orden superior generan funciones de transferencia con polos agrupados. Dado que esas configuraciones de polos tienden a ser muy susceptibles a las perturbaciones, evite las aproximaciones de Padé con orden N>10.

    Referencias

    [1] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 2nd ed. Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences 3. Baltimore, Md: Johns Hopkins University Press, 1989. pp. 557-558.

    Historial de versiones

    Introducido antes de R2006a