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Regresión lineal con efectos de interacción

Construya y analice un modelo de regresión lineal con efectos de interacción e interprete los resultados.

Cargue datos de muestra.

load hospital

Para conservar solo la primera columna de la presión arterial, almacene los datos en una nueva matriz de DataSet.

ds = dataset(hospital.Sex,hospital.Age,hospital.Weight,hospital.Smoker,... hospital.BloodPressure(:,1),'Varnames',{'Sex','Age','Weight','Smoker',... 'BloodPressure'});

Realice una regresión lineal escalonada.

Para el modelo inicial, utilice el modelo completo con todos los términos y sus interacciones en parejas.

mdl = stepwiselm(ds,'interactions')
1. Removing Sex:Smoker, FStat = 0.050738, pValue = 0.8223 2. Removing Weight:Smoker, FStat = 0.07758, pValue = 0.78124 3. Removing Age:Weight, FStat = 1.9717, pValue = 0.16367 4. Removing Sex:Age, FStat = 0.32389, pValue = 0.57067 5. Removing Age:Smoker, FStat = 2.4939, pValue = 0.11768 
mdl =  Linear regression model:     BloodPressure ~ 1 + Age + Smoker + Sex*Weight  Estimated Coefficients:                        Estimate       SE        tStat       pValue                          ________    ________    _______    __________      (Intercept)         133.17       10.337     12.883      1.76e-22     Sex_Male           -35.269       17.524    -2.0126      0.047015     Age                0.11584     0.067664      1.712      0.090198     Weight             -0.1393     0.080211    -1.7367      0.085722     Smoker_1            9.8307       1.0229     9.6102    1.2391e-15     Sex_Male:Weight     0.2341      0.11192     2.0917      0.039162   Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 94 Root Mean Squared Error: 4.72 R-squared: 0.53,  Adjusted R-Squared: 0.505 F-statistic vs. constant model: 21.2, p-value = 4e-14 

El modelo final en forma de fórmula es.BloodPressure ~ 1 + Age + Smoker + Sex*Weight Este modelo incluye los cuatro efectos principales (edad, fumador, sexo, peso) y la interacción bidireccional entre y.SexWeight Este modelo corresponde a

<math display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
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<mi>β</mi>
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<mn>0</mn>
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<mi>β</mi>
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<mrow>
<mi>A</mi>
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<msub>
<mrow>
<mi>X</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mrow>
<mi>β</mi>
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>m</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow>
<mi>I</mi>
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>m</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mrow>
<mi>β</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow>
<mi>I</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mrow>
<mi>β</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>W</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow>
<mi>X</mi>
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<mrow>
<mi>W</mi>
</mrow>
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<mo>+</mo>
<msub>
<mrow>
<mi>β</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>W</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow>
<mi>X</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>W</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow>
<mi>I</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>ϵ</mi>
<mo>,</mo>
</mrow>
</math>

Dónde

  • <math display="block">
    <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mi>P</mi>
    </mrow>
    </math>
    es la presión arterial

  • <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>β</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>i</mi>
    </mrow>
    </msub>
    </mrow>
    </math>
    son los coeficientes

  • <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mi>m</mi>
    </mrow>
    </msub>
    </mrow>
    </math>
    es la variable indicadora para fumar;
    <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mi>m</mi>
    </mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    </mrow>
    </math>
    indica un paciente que fuma, mientras que
    <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mi>m</mi>
    </mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
    </mrow>
    </math>
    indica un paciente para no fumadores

  • <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    </mrow>
    </msub>
    </mrow>
    </math>
    es la variable indicadora para el sexo;
    <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    </mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    </mrow>
    </math>
    indica un paciente masculino, mientras que
    <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>I</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>S</mi>
    </mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
    </mrow>
    </math>
    indica una paciente femenina

  • <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>X</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>A</mi>
    </mrow>
    </msub>
    </mrow>
    </math>
    es la variableAge

  • <math display="block">
    <mrow>
    <msub>
    <mrow>
    <mi>X</mi>
    </mrow>
    <mrow>
    <mi>W</mi>
    </mrow>
    </msub>
    </mrow>
    </math>
    es la variableWeight

  • <math display="block">
    <mrow>
    <mi>ϵ</mi>
    </mrow>
    </math>
    es el término del error

La siguiente tabla muestra el modelo lineal ajustado para cada combinación de sexo y tabaquismo.

<math display="block">
<mrow>
<mtable columnalign="center center center" frame="solid" rowlines="none solid solid solid solid">
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mrow>
<mi>I</mi>
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>m</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mrow>
<mi>I</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>S</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mtext>Linear Model</mtext>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mrow>
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</mrow>
</mtd>
<mtd>
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</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtable columnalign="right left">
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<mrow>
<mi>B</mi>
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</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mn>0</mn>
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<mi>m</mi>
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<mo>+</mo>
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<mo>+</mo>
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<munderover accent="true">
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<mn>1</mn>
<mn>0</mn>
<mn>7</mn>
<mo>.</mo>
<mn>5</mn>
<mn>6</mn>
<mn>1</mn>
<mn>7</mn>
<mo>+</mo>
<mn>0</mn>
<mo>.</mo>
<mn>1</mn>
<mn>1</mn>
<mn>5</mn>
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<mn>4</mn>
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<mo>+</mo>
<mn>0</mn>
<mo>.</mo>
<mn>1</mn>
<mn>1</mn>
<mn>8</mn>
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<mn>6</mn>
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</mrow>
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<mtd>
<mrow>
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<mn>0</mn>
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<mn>3</mn>
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<mi>X</mi>
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</math>

Como se ve en estos modelos,

<math display="block">
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<msub>
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</math>
Y
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<mi>S</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</math>
muestran cuánto cambia la intercepción de la función de respuesta cuando la variable indicadora toma el valor 1 en comparación con cuando toma el valor 0.
<math display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow>
<mi>β</mi>
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<mrow>
<mi>S</mi>
<mi>W</mi>
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</msub>
</mrow>
</math>
, sin embargo, muestra el efecto de la variable Weight en la variable de respuesta cuando la variable indicadora para sexo toma el valor 1 comparado con cuando toma el valor 0. Puede explorar los efectos principales y de interacción en el modelo final utilizando los métodos de la clase de la siguiente manera.LinearModel

Trazar trazados de sectores de predicción.

figure plotSlice(mdl)

Esta gráfica muestra los efectos principales para todas las variables predictoras. La línea verde de cada panel muestra el cambio en la variable de respuesta como una función de la variable predictora cuando todas las demás variables predictoras se mantienen constantes. Por ejemplo, para un paciente varón fumador de 37,5 años, la presión arterial esperada aumenta a medida que aumenta el peso del paciente, dado que todo lo demás es el mismo.

Las curvas rojas discontinuas de cada panel muestran los límites de confianza del 95% para los valores de respuesta pronosticados.

La línea discontinua horizontal en cada panel muestra la respuesta pronosticada para el valor específico de la variable predictora correspondiente a la línea discontinua vertical. Puede arrastrar estas líneas para obtener los valores de respuesta pronosticados en otros valores predictores, como se muestra a continuación.

Por ejemplo, el valor pronosticado de la variable de respuesta es 118,3497 cuando un paciente es femenino, no es para fumar, edad 40,3788, y pesa 139,9545 libras. Los valores de los corchetes, [114,621, 122,079], muestran los límites inferior y superior de un intervalo de confianza de 95% para la respuesta estimada. Tenga en cuenta que, para un paciente femenino no fumante, la presión arterial esperada disminuye a medida que aumenta el peso, dado que todo lo demás se mantiene constante.

Efectos principales de la trama.

plotEffects(mdl)

Esta gráfica muestra los efectos principales. Los círculos muestran la magnitud del efecto y las líneas azules muestran los límites de confianza superior e inferior para el efecto principal. Por ejemplo, ser fumador aumenta la presión arterial esperada en 10 unidades, en comparación con ser un no fumador, dado que todo lo demás se mantiene constante. La presión arterial esperada aumenta alrededor de dos unidades para los machos en comparación con las hembras, de nuevo, dados otros predictores mantenidos constantes. Un aumento de la edad de 25 a 50 provoca un aumento esperado de 4 unidades, mientras que un cambio de peso de 111 a 202 causa aproximadamente una disminución de 4 unidad en la presión arterial esperada, dado que todo lo demás se mantiene constante.

Efectos de interacción de trazado.

figure plotInteraction(mdl,'Sex','Weight')

Esta gráfica muestra el impacto de un cambio en un factor dado que el otro factor se fija en un valor.

Tenga cuidado al interpretar los efectos de interacción. Cuando no hay suficientes datos sobre todas las combinaciones de factores o los datos están altamente correlacionados, puede ser difícil determinar el efecto de interacción de cambiar un factor manteniendo el otro fijo. En tales casos, el efecto de interacción Estimado es una extrapolación a partir de los datos.

Los círculos azules muestran el efecto principal de un término específico, como en la gráfica de efectos principales. Los círculos rojos muestran el impacto de un cambio en un término para los valores fijos del otro término. Por ejemplo, en la mitad inferior de esta trama, los círculos rojos muestran el impacto de un cambio de peso en pacientes femeninos y masculinos, por separado. Se puede ver que un aumento en el peso de una hembra de 111 a 202 libras causa aproximadamente una disminución de 14 unidades en la presión arterial esperada, mientras que un aumento de la misma cantidad en el peso de un paciente masculino causa un aumento de 5 unidades en la presión arterial esperada , otra vez dado otros predictores se mantienen constantes.

Trazar efectos de predicción.

figure plotInteraction(mdl,'Sex','Weight','predictions')

Esta gráfica muestra el efecto de cambiar una variable, ya que la otra variable predictora se mantiene constante. En este ejemplo, la última figura muestra la variable de respuesta, la presión arterial, en función del peso, cuando el sexo variable se fija en machos y hembras. Las líneas para machos y hembras están cruzando lo que indica una fuerte interacción entre el peso y el sexo. Se puede ver que la presión arterial esperada aumenta a medida que aumenta el peso de un paciente masculino, pero disminuye a medida que aumenta el peso de una paciente femenina.

Consulte también

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