Ubicación de polos

Las ubicaciones de los polos de lazo cerrado tienen un impacto directo en las características de respuesta en el tiempo, como el tiempo de subida, el tiempo de estabilización y las oscilaciones transitorias. El lugar de las raíces utiliza ganancias de compensador para mover los polos de lazo cerrado y alcanzar las especificaciones de diseño para sistemas SISO. Sin embargo, puede utilizar técnicas de espacio de estados para asignar polos de lazo cerrado. Esta técnica de diseño se conoce como ubicación de polos y difiere del lugar de las raíces en los siguientes aspectos:

• Utilizando técnicas ubicación de polos, puede diseñar compensadores dinámicos.

• Las técnicas de ubicación de polos se pueden aplicar a sistemas MIMO.

La ubicación de polos requiere un modelo de espacio de estados del sistema (utilice ss para convertir otros formatos de modelo al de espacio de estados). En tiempo continuo, estos modelos tienen el formato

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

donde u es el vector de entradas de control, x es el vector de estado e y es el vector de medidas.

Selección de ganancia de feedback de estados

En el feedback de estados $$u=-Kx$$, las dinámicas de lazo cerrado están dadas por

$$\dot{x}=(A-BK)x$$

y los polos de lazo cerrado son los valores propios de A-BK. Utilizando la función place, puede calcular una matriz de ganancia K que asigne estos polos a cualquier ubicación deseada en el plano complejo (siempre que [A,B] sea controlable).

Por ejemplo, en el caso de las matrices de estado A y B y del vector p que contiene las ubicaciones deseadas de los polos de lazo cerrado,

K = place(A,B,p);

calcula una matriz de ganancia apropiada K.

Diseño del estimador de estado

No se puede implementar la ley de feedback de estados $$u=-Kx$$ a menos que se mida la x de estado completo. Sin embargo, puede generar una estimación de estado $$\xi$$ de forma que la ley $$u=-K\xi$$ conserve propiedades similares de asignación de polos y de lazo cerrado. Puede hacerlo diseñando un estimador (u observador) de estado con el formato

$$\dot{\xi }=A\xi +Bu+L(y-C\xi -Du)$$

Los polos del estimador son los valores propios de A-LC, que se pueden asignar de forma arbitraria seleccionando adecuadamente la matriz de ganancia del estimador L, siempre que (C, A) sea observable. Por lo general, la dinámica del estimador debe ser más rápida que la dinámica del controlador (valores propios de A-BK).

Utilice la función place para calcular la matriz L

L = place(A',C',q).'

donde A y C son las matrices de estado y de salida, y q es el vector que contiene los polos de lazo cerrado deseados para el observador.

Reemplazar x por su estimación $$\xi$$ en $$u=-Kx$$ genera el compensador dinámico de feedback de salida

$$\begin{array}{l}\dot{\xi }=[A-LC-(B-LD)K]\xi +Ly\\ u=-K\xi \end{array}$$

Tenga en cuenta que las dinámicas de lazo cerrado resultantes son

$$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right],e=x-\xi$$

En realidad, se asignan todos los polos de lazo cerrado ubicando de forma independiente los valores propios de A-BK y A-LC.

Ejemplo

A partir de un modelo de espacio de estados de tiempo continuo

sys_pp = ss(A,B,C,D) 

con siete salidas y cuatro entradas, supongamos que ha diseñado

• La ganancia de un controlador de feedback de estados K utilizando las entradas 1, 2 y 4 de la planta como entradas de control

• Un estimador de estado con ganancia L utilizando las salidas 4, 7 y 1 de la planta como sensores

• La entrada 3 de la planta como entrada conocida adicional

Luego, puede conectar el controlador y el estimador y formar el compensador dinámico utilizando este código:

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Herramientas de ubicación de polos

Puede utilizar funciones para

• Calcular matrices de ganancia K y L que alcancen las ubicaciones deseadas de los polos de lazo cerrado.

• Formar el estimador de estado y el compensador dinámico utilizando estas ganancias.

La siguiente tabla resume las funciones de ubicación de polos.

Funciones	Descripción
estim	Forma el estimador de estado a partir de la ganancia del estimador
place	Diseña la ubicación de polos
reg	Forma el compensador de feedback de salida a partir de las ganancias de feedback de estados y del estimador

Precaución

La ubicación de polos puede estar mal condicionada si elige ubicaciones de polos poco realistas. En concreto, debe evitar:

• Ubicar varios polos en la misma ubicación.

• Mover polos que son difíciles de controlar u observar. Esto suele requerir una ganancia alta, lo que a su vez hace que toda la estructura propia de lazo cerrado se vuelva muy susceptible a perturbaciones.

Consulte también

estim | place | reg