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Ajuste polinomial de curvas

Este ejemplo muestra cómo ajustar polinomios hasta de sexto grado a datos de censo usando Curve Fitting Toolbox™. También muestra cómo ajustar una ecuación exponencial de un solo término y compararla con los modelos polinómicos.

Los sucesivos pasos muestran cómo:

  • Cargar datos y crear ajustes usando distintos modelos de bibliotecas.

  • Buscar el mejor ajuste comparando los resultados de los ajustes, tanto gráficos como numéricos, incluidos los coeficientes ajustados y los valores estadísticos de bondad de ajuste.

Cargar y representar los datos

Los datos para este ejemplo son el archivo census.mat.

load census

El área de trabajo contiene dos variables nuevas:

  • cdate es un vector columna que contiene los años 1790 a 1990 en incrementos de 10 años.

  • pop es un vector columna con las cifras de población estadounidense correspondientes a cada año de cdate.

whos cdate pop
  Name        Size            Bytes  Class     Attributes

  cdate      21x1               168  double              
  pop        21x1               168  double              
plot(cdate,pop,'o')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Crear y representar una curva cuadrática

Use la función fit para ajustar un polinomio a los datos. Especifique un polinomio cuadrático (o de segundo grado) con la cadena 'poly2'. El primer resultado de fit es el polinomio y el segundo resultado (gof) contiene los valores estadísticos de bondad de ajuste que examinará más adelante.

[population2,gof] = fit(cdate,pop,'poly2');

Para representar el ajuste, use la función plot. Añada una leyenda en la esquina superior izquierda.

plot(population2,cdate,pop);
legend('Location','NorthWest');

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. These objects represent data, fitted curve.

Crear y representar una selección de polinomios

Para ajustar polinomios de distintos grados, modifique la cadena fittype; por ejemplo, para un polinomio cúbico o de tercer grado use 'poly3'. La escala de los datos de entrada cdate es bastante grande, por lo que obtendrá mejores resultados si centra y cambia la escala de los datos. Para ello, use la función 'Normalize'.

population3 = fit(cdate,pop,'poly3','Normalize','on');
population4 = fit(cdate,pop,'poly4','Normalize','on');
population5 = fit(cdate,pop,'poly5','Normalize','on');
population6 = fit(cdate,pop,'poly6','Normalize','on');

Un modelo sencillo de crecimiento poblacional indica que una ecuación exponencial debería ajustarse bien a estos datos de censo. Para ajustar un modelo exponencial de un solo término, use 'exp1' como fittype.

populationExp = fit(cdate,pop,'exp1');

Represente todos los ajustes a la vez y añada una leyenda relevante en la esquina superior izquierda de la gráfica.

hold on
plot(population3,'b');
plot(population4,'g');
plot(population5,'m');
plot(population6,'b--');
plot(populationExp,'r--');
hold off
legend('cdate v pop','poly2','poly3','poly4','poly5','poly6','exp1', ...
    'Location','NorthWest');

Figure contains an axes. The axes contains 7 objects of type line. These objects represent cdate v pop, poly2, poly3, poly4, poly5, poly6, exp1.

Representar los valores residuales para evaluar el ajuste

Para representar los valores residuales, elija 'residuals' como tipo de gráfica en la función plot.

plot(population2,cdate,pop,'residuals');

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. These objects represent data, zero line.

Todos los ajustes y los valores residuales de las ecuaciones polinómicas se parecen, por lo que resulta difícil elegir el mejor.

Si los valores residuales muestran un patrón sistemático, es una clara indicación de que el modelo no se ajusta bien a los datos.

plot(populationExp,cdate,pop,'residuals');

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. These objects represent data, zero line.

El ajuste y los valores residuales de la ecuación exponencial de un solo término indican que, en conjunto, no se ajusta bien. Por lo tanto, es una mala opción y puede eliminar el ajuste exponencial de la lista de posibles mejores ajustes.

Estudiar los ajustes más allá del rango de datos

Estudie el comportamiento de los ajustes hasta el año 2050. El objetivo de ajustar los datos del censo es extrapolar el mejor ajuste para predecir valores futuros de población.

De forma predeterminada, el ajuste se representa sobre el rango de datos. Para representar un ajuste sobre un rango distinto, establezca los límites del eje x antes de representar el ajuste. Por ejemplo, para ver los valores del ajuste extrapolados, establezca el límite superior del eje x en 2050.

plot(cdate,pop,'o');
xlim([1900, 2050]);
hold on
plot(population6);
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. This object represents fitted curve.

Estudie la gráfica. El comportamiento del ajuste polinomial de sexto grado más allá del rango de datos lo convierte en una mala opción para extrapolar, por lo que puede rechazar este ajuste.

Representar los intervalos de predicción

Para representar los intervalos de predicción, utilice 'predobs' o 'predfun' como tipo de gráfica. Por ejemplo, para ver los límites de predicción del polinomio de quinto grado de una nueva observación hasta el año 2050:

plot(cdate,pop,'o');
xlim([1900,2050])
hold on
plot(population5,'predobs');
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent fitted curve, prediction bounds.

Represente los intervalos de predicción del polinomio cúbico hasta el año 2050:

plot(cdate,pop,'o');
xlim([1900,2050])
hold on
plot(population3,'predobs')
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent fitted curve, prediction bounds.

Examinar los valores estadísticos de bondad de ajuste

La estructura gof muestra los valores estadísticos de bondad de ajuste del ajuste 'poly2'. Al crear el ajuste 'poly2' mediante la función fit en un paso anterior, especificó el argumento de salida gof.

gof
gof = struct with fields:
           sse: 159.0293
       rsquare: 0.9987
           dfe: 18
    adjrsquare: 0.9986
          rmse: 2.9724

Estudie los valores estadísticos de la suma de cuadrados de los errores (SSE, por su sigla en inglés) y el R-cuadrado ajustado para ayudar a determinar cuál es el mejor ajuste. El valor estadístico SSE es el error de mínimos cuadrados del ajuste, y cuanto más próximo a cero sea su valor mejor será el ajuste. El valor estadístico del R-cuadrado ajustado es normalmente el mejor indicador de la calidad del ajuste cuando incorpore coeficientes adicionales al modelo.

El elevado valor de SSE de 'exp1' indica que no se ajusta bien, algo que ya sabía tras estudiar el ajuste y los valores residuales. El menor valor de SSE es el de 'poly6'. Sin embargo, el comportamiento de este ajuste más allá del rango de datos lo convierte en una mala opción para extrapolar, por lo que ya rechazó este ajuste al estudiar las gráficas con los nuevos límites en los ejes.

El siguiente mejor valor de SSE es el del ajuste polinomial de quinto grado 'poly5', lo que sugiere que podría ser el mejor. Sin embargo, los valores de SSE y de R-cuadrado ajustado de los restantes ajustes polinomiales están muy próximos entre sí. ¿Cuál elegir?

Comparar los coeficientes y los límites de confianza para determinar el mejor ajuste

Solucione la cuestión del mejor ajuste estudiando los coeficientes y los límites de confianza de los restantes ajustes: el polinomial de quinto grado y el cuadrático.

Estudie population2 y population5 mostrando los modelos, los coeficientes ajustados y los límites de confianza de los coeficientes ajustados:

population2
population2 = 
     Linear model Poly2:
     population2(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =    0.006541  (0.006124, 0.006958)
       p2 =      -23.51  (-25.09, -21.93)
       p3 =   2.113e+04  (1.964e+04, 2.262e+04)
population5
population5 = 
     Linear model Poly5:
     population5(x) = p1*x^5 + p2*x^4 + p3*x^3 + p4*x^2 + p5*x + p6
       where x is normalized by mean 1890 and std 62.05
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =      0.5877  (-2.305, 3.48)
       p2 =      0.7047  (-1.684, 3.094)
       p3 =     -0.9193  (-10.19, 8.356)
       p4 =       23.47  (17.42, 29.52)
       p5 =       74.97  (68.37, 81.57)
       p6 =       62.23  (59.51, 64.95)

También puede obtener los intervalos de confianza usando confint:

ci = confint(population5)
ci = 2×6

   -2.3046   -1.6841  -10.1943   17.4213   68.3655   59.5102
    3.4801    3.0936    8.3558   29.5199   81.5696   64.9469

Los límites de confianza de los coeficientes determinan su precisión. Compruebe las ecuaciones de ajuste (por ejemplo, f(x)=p1*x+p2*x...) para ver los términos del modelo para cada coeficiente. Tenga en cuenta que p2 hace referencia al término p2*x de 'poly2' y al término p2*x^4 de 'poly5'. No compare directamente coeficientes normalizados y no normalizados.

Los límites cruzan por cero en los coeficientes p1, p2 y p3 del polinomio de quinto grado. Esto significa que no puede tener la certeza de que estos coeficientes difieran de cero. Si existe la posibilidad de que los términos de los modelos de mayor orden tengan coeficientes cero, esto no ayuda con el ajuste, ya que sugiere que este modelo se sobreajusta a los datos del censo.

Los coeficientes ajustados relativos a términos constantes, lineales y cuadráticos son casi idénticos en todas las ecuaciones polinómicas normalizadas. Sin embargo, a medida que el grado polinómico aumenta, los límites de los coeficientes relativos a términos de mayor grado cruzan el cero, lo que sugiere un sobreajuste.

En el caso del ajuste cuadrático, sin embargo, los límites de confianza pequeños no cruzan el cero en p1, p2 ni p3, lo que indica que los coeficientes ajustados se conocen con bastante precisión.

Por lo tanto, tras estudiar los resultados tanto gráficos como numéricos, debería elegir el ajuste cuadrático population2 como el mejor para extrapolar los datos del censo.

Evaluar el mejor ajuste en puntos de consulta nuevos

Una vez seleccionado el mejor ajuste (population2) para extrapolar estos datos del censo, evalúelo con algunos puntos de consulta nuevos:

cdateFuture = (2000:10:2020).';
popFuture = population2(cdateFuture)
popFuture = 3×1

  274.6221
  301.8240
  330.3341

Para calcular los límites de confianza del 95% respecto a la predicción de población futura, use el método predint:

ci = predint(population2,cdateFuture,0.95,'observation')
ci = 3×2

  266.9185  282.3257
  293.5673  310.0807
  321.3979  339.2702

Represente la predicción de población futura con intervalos de confianza frente al ajuste y los datos.

plot(cdate,pop,'o');
xlim([1900,2040])
hold on
plot(population2)
h = errorbar(cdateFuture,popFuture,popFuture-ci(:,1),ci(:,2)-popFuture,'.');
hold off
legend('cdate v pop','poly2','prediction', ...
    'Location','NorthWest')

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line, errorbar. These objects represent cdate v pop, poly2, prediction.

Para obtener más información, consulte Modelos polinómicos.