c2d

Conversión de modelos de tiempo continuo a discreto

Sintaxis

sysd = c2d(sysc,Ts)

sysd = c2d(sysc,Ts,method)

sysd = c2d(sysc,Ts,opts)

[sysd,G] = c2d(___)

Descripción

sysd = c2d(sysc,Ts) discretiza el modelo de sistema dinámico en tiempo continuo sysc utilizando una retención de orden cero en las entradas y un tiempo de muestreo de Ts.

sysd = c2d(sysc,Ts,method) especifica el método de discretización.

sysd = c2d(sysc,Ts,opts) especifica opciones adicionales para la discretización.

[sysd,G] = c2d(___), donde sysc es un modelo de espacio de estados, devuelve una matriz G que mapea las condiciones iniciales continuas x₀ y u₀ del modelo de espacio de estados al vector de estado inicial en tiempo discreto x[0].

Ejemplos

Discretización de funciones de transferencia

Discretice la siguiente función de transferencia en tiempo continuo:

$$H\left(s\right)=e^{-0.3s}\frac{s-1}{s^2+4s+5}.$$

Este sistema tiene un retardo de entrada de 0,3 s. Discretice el sistema utilizando la aproximación triangular (retención de primer orden) con tiempo de muestreo Ts = 0,1 s.

H = tf([1 -1],[1 4 5],'InputDelay', 0.3); 
Hd = c2d(H,0.1,'foh');

Compare las respuestas al escalón de los sistemas en tiempo continuo y discretizado.

step(H,'-',Hd,'--')

Discretización de modelos con un retardo fraccionario absorbido en coeficientes

Discretice la siguiente función de transferencia con retardo utilizando una retención de orden cero en la entrada y una tasa de muestreo de 10 Hz.

$$H\left(s\right)=e^{-0.25s}\frac{10}{s^2+3s+10}.$$

h = tf(10,[1 3 10],'IODelay',0.25); 
hd = c2d(h,0.1)

hd =
 
           0.01187 z^2 + 0.06408 z + 0.009721
  z^(-3) * ----------------------------------
                 z^2 - 1.655 z + 0.7408
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties

En este ejemplo, el modelo discretizado hd presenta un retardo de tres periodos de muestreo. El algoritmo de discretización absorbe el retardo de medio periodo residual en los coeficientes de hd.

Compare las respuestas al escalón de los modelos en tiempo continuo y discretizado.

step(h,'--',hd,'-')

Discretizar modelos con un retardo fraccionario aproximado

Desde R2024a

Cree un modelo de espacio de estados en tiempo continuo con dos estados y un retardo de entrada.

sys = ss(tf([1,2],[1,4,2]));
sys.InputDelay = 2.7

sys =
 
  A = 
       x1  x2
   x1  -4  -2
   x2   1   0
 
  B = 
       u1
   x1   2
   x2   0
 
  C = 
        x1   x2
   y1  0.5    1
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  Input delays (seconds): 2.7 
 
Continuous-time state-space model.
Model Properties

Discretice el modelo utilizando el método de discretización de Tustin y un filtro de Thiran para crear el modelo de los retardos fraccionarios. Tiempo de muestreo Ts = 1 segundo.

opt = c2dOptions('Method','tustin','ThiranOrder',3);
sysd1 = c2d(sys,1,opt)

sysd1 =
 
  A = 
            x1       x2
   x1  -0.4286  -0.5714
   x2   0.2857   0.7143
 
  B = 
           u1
   x1  0.5714
   x2  0.2857
 
  C = 
           x1      x2
   y1  0.2857  0.7143
 
  D = 
           u1
   y1  0.2857
 
  (values computed with all internal delays set to zero)

  Internal delays (sampling periods): 1  1  1 
 
Sample time: 1 seconds
Discrete-time state-space model.
Model Properties

De forma predeterminada, la función modela retardos adicionales como retardos internos en el modelo discretizado. Para modelar retardos adicionales como estados en el modelo discretizado, establezca la opción DelayModeling de c2dOptions en 'state'.

opt2 = c2dOptions('Method','tustin','ThiranOrder',3,'DelayModeling','state');
sysd2 = c2d(sys,1,opt2)

sysd2 =
 
  A = 
              x1         x2         x3         x4         x5
   x1    -0.4286    -0.5714   -0.00265    0.06954      2.286
   x2     0.2857     0.7143  -0.001325    0.03477      1.143
   x3          0          0    -0.2432     0.1449    -0.1153
   x4          0          0       0.25          0          0
   x5          0          0          0      0.125          0
 
  B = 
             u1
   x1  0.002058
   x2  0.001029
   x3         8
   x4         0
   x5         0
 
  C = 
              x1         x2         x3         x4         x5
   y1     0.2857     0.7143  -0.001325    0.03477      1.143
 
  D = 
             u1
   y1  0.001029
 
Sample time: 1 seconds
Discrete-time state-space model.
Model Properties

El modelo discretizado contiene ahora tres estados adicionales x3, x4 y x5, correspondientes a un filtro de Thiran de tercer orden. Dado que el retardo de tiempo dividido por el tiempo de muestreo es 2,7, el filtro de Thiran de tercer orden ('ThiranOrder' = 3) puede aproximar la totalidad del retardo de tiempo.

Discretización de modelos identificados

Realice la estimación de una función de transferencia en tiempo continuo y proceda a su discretización.

load iddata1
sys1c = tfest(z1,2);
sys1d = c2d(sys1c,0.1,'zoh');

Realice la estimación de una función de transferencia en tiempo discreto de segundo orden.

sys2d = tfest(z1,2,'Ts',0.1);

Compare la respuesta del modelo discretizado de función de transferencia en tiempo continuo, sys1d, y del modelo en tiempo discreto estimado directamente, sys2d.

compare(z1,sys1d,sys2d)

Los dos sistemas son casi idénticos.

Creación de modelos de predicción

Discretice un modelo de espacio de estados identificado para construir un predictor de un paso adelante de su respuesta.

Cree un modelo de espacio de estados en tiempo continuo identificado utilizando datos de estimación.

load iddata2
sysc = ssest(z2,4);

Anticipe la respuesta prevista de un paso adelante de sysc.

predict(sysc,z2)

Discretice el modelo.

sysd = c2d(sysc,0.1,'zoh');

Construya un modelo de predicción a partir del modelo discretizado, sysd.

[A,B,C,D,K] = idssdata(sysd);
Predictor = ss(A-K*C,[K B-K*D],C,[0 D],0.1);

Predictor es un modelo de dos entradas que utiliza las señales de salida y entrada ([z1.y z1.u]) medidas para calcular la respuesta prevista de un paso de sysc.

Simule el modelo de predicción para obtener la misma respuesta que el comando predict.

lsim(Predictor,[z2.y,z2.u])

La simulación del modelo de predicción genera la misma respuesta que predict(sysc,z2).

Argumentos de entrada

sysc — Sistema dinámico en tiempo continuo

modelo de sistema dinámico

Modelo en tiempo continuo, especificado como un modelo de sistema dinámico tal como idtf, idss o idpoly. sysc, no puede ser un modelo de datos de respuesta en frecuencia. sysc puede ser un sistema SISO o MIMO, salvo que el método de discretización 'matched' admite únicamente sistemas SISO.

sysc puede presentar retardos de tiempo de entrada-salida o internos; sin embargo, los métodos 'matched', 'impulse' y 'least-squares' no admiten modelos de espacio de estados con retardos internos.

Los siguientes sistemas lineales identificados no se pueden discretizar directamente:

• Modelos idgrey cuyo FunctionType es 'c'. Conviértalos primero al modelo idss.

• Modelos idproc. Conviértalos primero a un modelo idtf o idpoly.

Ts — Tiempo de muestreo

escalar positivo

El tiempo de muestreo, especificado como un escalar positivo que representa el periodo de muestreo del sistema en tiempo discreto resultante. El Ts se expresa en TimeUnit, que es la propiedad de sysc.TimeUnit.

method — Método de discretización

'zoh' (predeterminado) | 'foh' | 'impulse' | 'tustin' | 'matched' | 'least-squares' | 'damped'

Método de discretización, especificado como una de las siguientes opciones:

• 'zoh': retención de orden cero (valor predeterminado). Supone que las entradas de control son constantes por partes a lo largo del tiempo de muestreo Ts.

• 'foh': aproximación triangular (retención de primer orden modificada). Supone que las entradas de control son lineales por partes a lo largo del tiempo de muestreo Ts.

• 'impulse': discretización invariante al impulso

• 'tustin': método bilineal (Tustin). Para especificar este método con precompensación de frecuencia (o lo que antes se conocía como método 'prewarp'), utilice la opción PrewarpFrequency de c2dOptions.

• 'matched': método de correspondencia de polos y ceros

• 'least-squares': método de mínimos cuadrados

• 'damped': aproximación de Tustin con amortiguación basada en la fórmula TRBDF2 solo para modelos sparss.

Para más información sobre los algoritmos de cada método de conversión, consulte Métodos de conversión entre tiempo continuo y discreto.

opts — Opciones de discretización

Objeto c2dOptions

Opciones de discretización, especificadas como un objeto c2dOptions. Por ejemplo, especifique la frecuencia de precompensación de la respuesta en frecuencia, el orden del filtro de Thiran o el método de discretización como opción.

Argumentos de salida

sysd — Modelo en tiempo discreto

modelo de sistema dinámico

Modelo en tiempo discreto, devuelto como un modelo de sistema dinámico del mismo tipo que el sistema de entrada sysc.

Cuando sysc es un modelo identificado (IDLTI), sysd:

• Incluye los componentes medidos y de ruido de sysc. La varianza de las innovaciones λ del modelo identificado en tiempo continuo sysc, almacenada en su propiedad NoiseVariance, se interpreta como la intensidad de la densidad espectral del espectro de ruido. Por lo tanto, la varianza de ruido en sysd es λ/Ts.

• No incluye la covarianza del parámetro estimado de sysc. Si desea convertir la covarianza mientras discretiza el modelo, utilice translatecov.

G — Mapeo de las condiciones iniciales continuas del modelo de espacio de estados al vector de estado inicial en tiempo discreto

matriz

Mapeo de las condiciones iniciales de tiempo continuo x₀ y u₀ del modelo de espacio de estados sysc al vector de estado inicial en tiempo discreto x[0], devuelto como una matriz. El mapeo de las condiciones iniciales al vector de estado inicial es la siguiente:

$$x\left[0\right]=G\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_0\\ u_0\end{array}\right]$$

En el caso de modelos de espacio de estados con retardos de tiempo, c2d rellena la matriz G con ceros para tener en cuenta los estados adicionales introducidos por la discretización de esos retardos. Consulte Métodos de conversión entre tiempo continuo y discreto para un análisis del modelado de retardos de tiempo en los sistemas discretizados.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2024a: No se añaden estados adicionales durante la conversión

El comando c2d ya no añade estados adicionales cuando se modelan retardos adicionales. De forma predeterminada, c2d ahora utiliza retardos internos y devuelve el modelo discretizado con el mismo número de estados. El resultado es un comportamiento más predecible y simplifica el mapeo del estado inicial de tiempo continuo a discreto.

Para volver al comportamiento anterior a la versión R2024a, cree un conjunto de opciones con c2dOptions y establezca DelayModeling en "state".

R2024a: Soporte para modelos mechss

Ahora puede discretizar modelos mechss utilizando el método de aproximación bilineal de Tustin. En el caso de modelos mechss, el método 'tustin' calcula la forma de segundo orden de la discretización de Tustin. Esto equivale a aplicar Tustin al equivalente sparss de primer orden del modelo mechss.

R2024a: Soporte para modelos con compensaciones y otras mejoras

Ahora puede utilizar c2d para discretizar modelos con compensaciones, como los modelos de variación de parámetros lineales dispuestos en cuadrículas.

Además, c2dOptions ofrece dos nuevas opciones

• DelayModeling: especifica si se desea modelar los retardos adicionales como retardos internos (opción predeterminada) o estados adicionales.

• Consistency: aplica la coherencia de estados y retardos en arreglos de espacio de estados. Esta opción resulta útil cuando se discretizan modelos LPV o LTV dispuestos en cuadrículas.

Consulte también

c2dOptions | d2c | d2d | thiran (Control System Toolbox) | translatecov

Temas

• Modelos de sistemas dinámicos
• Transforming Between Discrete-Time and Continuous-Time Representations
• Métodos de conversión entre tiempo continuo y discreto