Números de punto flotante

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"Punto flotante" se refiere a un conjunto de tipos de datos que codifican números reales, incluidas fracciones y decimales. Los tipos de datos de punto flotante permiten un número distinto de dígitos después del punto decimal, mientras que los tipos de datos de punto fijo tienen un número determinado de dígitos reservado antes y después del punto decimal. Por lo tanto, los tipos de datos de punto flotante pueden representar una mayor variedad de números que los tipos de datos de punto fijo.

Debido a la memoria limitada para representar y almacenar números, los ordenadores pueden representar un conjunto finito de números de punto flotante que tienen precisión finita. Esta precisión finita puede limitar la precisión de los cálculos de punto flotante que requieren valores exactos o una gran precisión, ya que algunos números no se representan de manera exacta. A pesar de sus limitaciones, los números de punto flotante se usan mucho debido a sus cálculos rápidos y a su precisión e intervalo suficientes para resolver problemas del mundo real.

Números de punto flotante en MATLAB

MATLAB^® tiene tipos de datos para números de punto flotante de doble precisión (double) y precisión simple (single) de conformidad con el estándar 754 del IEEE^®. De forma predeterminada, MATLAB representa los números de punto flotante en formato de doble precisión. La doble precisión permite representar números con mayor precisión, pero requiere más memoria que la precisión simple. Para ahorrar memoria, puede convertir un número a precisión simple utilizando la función single.

Puede almacenar números entre aproximadamente –3,4 × 10³⁸ y 3,4 × 10³⁸ utilizando la doble precisión o la precisión simple. Si tiene números fuera de ese intervalo, almacénelos usando la doble precisión.

Crear datos de doble precisión

Dado que el tipo numérico predeterminado para MATLAB es el tipo double, puede crear un número de punto flotante de doble precisión con una sencilla instrucción de asignación.

x = 10;
c = class(x)

c =
   'double'

Puede convertir datos numéricos, caracteres o cadenas, y datos lógicos a doble precisión usando la función double. Por ejemplo, convierta un entero con signo a un número de punto flotante de doble precisión.

x = int8(-113);
y = double(x)

y =
   -113

Crear datos de precisión simple

Para crear un número de precisión simple, utilice la función single.

x = single(25.783);

También puede convertir datos numéricos, caracteres o cadenas, y datos lógicos a precisión simple usando la función single. Por ejemplo, convierta un entero con signo a un número de punto flotante de precisión simple.

x = int8(-113);
y = single(x)

y =
   single
   -113

Cómo almacena MATLAB números de punto flotante

MATLAB construye sus tipos de datos de punto flotante double y single de acuerdo con el formato del IEEE y sigue el modo de redondeo redondeo al más próximo con desempate al par de forma predeterminada.

Un número de punto flotante x tiene la forma:

$x = - 1^{s} \cdot (1 + f) \cdot 2^{e}$

donde:

s determina el signo.
f es la fracción, o mantisa, que cumple 0 ≤ f < 1.
es el exponente.

s, f y e están determinados cada uno por un número finito de bits en memoria, dependiendo f y e de la precisión del tipo de datos.

El almacenamiento de un número double requiere 64 bits, tal como se muestra en esta tabla.

Bits	Ancho	Uso
`63`	`1`	Almacena el signo, donde `0` es positivo y `1` es negativo
`62` a `52`	`11`	Almacena el exponente, sesgado por `1023`
`51` a `0`	`52`	Almacena la mantisa

El almacenamiento de un número single requiere 32 bits, tal como se muestra en esta tabla.

Bits	Ancho	Uso
`31`	`1`	Almacena el signo, donde `0` es positivo y `1` es negativo
`30` a `23`	`8`	Almacena el exponente, sesgado por `127`
`22` a `0`	`23`	Almacena la mantisa

Valores más grandes y más pequeños para tipos de datos de punto flotante

Los tipos de datos de doble precisión y de precisión simple tienen un valor más grande y más pequeño que se puede representar. A los números fuera del intervalo representable se les asigna infinito positivo o negativo. Sin embargo, algunos números dentro del intervalo representable no se pueden almacenar de manera exacta debido a los vacíos entre números de punto flotante consecutivos, y estos números pueden tener errores de redondeo.

Valores de doble precisión más grandes y más pequeños

Busque los valores positivos más grandes y más pequeños que pueden representarse con el tipo de datos double usando las funciones realmax y realmin, respectivamente.

m = realmax

m =
   1.7977e+308

n = realmin

n =
   2.2251e-308

realmax y realmin devuelven valores normalizados del IEEE. Puede encontrar los valores negativos más grandes y más pequeños multiplicando realmax y realmin por -1. A los números mayores que realmax o menores que –realmax se les asignan los valores de infinito positivo o negativo, respectivamente.

Valores de precisión simple más grandes y más pequeños

Busque los valores positivos más grandes y más pequeños que pueden representarse con el tipo de datos single llamando a las funciones realmax y realmin con el argumento "single".

m = realmax("single")

m =
   single
   3.4028e+38

n = realmin("single")

n =
   single
   1.1755e-38

Puede encontrar los valores negativos más grandes y más pequeños multiplicando realmax("single") y realmin("single") por –1. A los números mayores que realmax("single") o menores que –realmax("single") se les asignan los valores de infinito positivo o negativo, respectivamente.

Enteros de punto flotante consecutivos más grandes

No todos los enteros se pueden representar usando tipos de datos de punto flotante. El entero consecutivo más grande, x, es el entero más grande para el que todos los enteros menores que o iguales a x pueden representarse de manera exacta, pero x + 1 no se puede representar en formato de punto flotante. La función flintmax devuelve el entero consecutivo más grande. Por ejemplo, busque el entero consecutivo más grande en formato de punto flotante de doble precisión, que es 2⁵³, usando la función flintmax.

x = flintmax

x =
   9.0072e+15

Busque el entero consecutivo más grande en formato de punto flotante de precisión simple, que es 2²⁴.

y = flintmax("single")

y =
   single 
   16777216

Cuando convierte un tipo de datos enteros a un tipo de datos de punto flotante, los enteros que no se pueden representar de manera exacta en formato de punto flotante pierden precisión. flintmax, que es un número de punto flotante, es menor que el mayor entero que se puede representar por tipos de datos enteros usando el mismo número de bits. Por ejemplo, flintmax para doble precisión es 2⁵³, mientras que el valor máximo para el tipo int64 es 2⁶⁴ – 1. Por tanto, convertir un entero mayor que 2⁵³ a formato de doble precisión tiene como resultado una pérdida de precisión.

Precisión de los datos de punto flotante

La precisión de los datos de punto flotante puede verse afectada por varios factores:

Limitaciones del hardware del ordenador: por ejemplo, un hardware con memoria insuficiente trunca los resultados de los cálculos de punto flotante.
Los vacíos entre cada número de punto flotante y el siguiente número de punto flotante mayor: estos vacíos están presentes en cualquier ordenador y limitan la precisión.

Vacíos entre números de punto flotante

Puede determinar el tamaño de un vacío entre números de punto flotante consecutivos usando la función eps. Por ejemplo, busque la distancia entre 5 y el siguiente número de doble precisión mayor.

e = eps(5)

e =
   8.8818e-16

No puede representar números entre 5 y 5 + eps(5) en formato de doble precisión. Si un cálculo de doble precisión devuelve la respuesta 5, el resultado es preciso dentro de eps(5). Este radio de precisión a menudo se llama épsilon de la máquina.

Los vacíos entre números de punto flotante no son iguales. Por ejemplo, el vacío entre 1e10 y el siguiente número de doble precisión mayor es superior al vacío entre 5 y el siguiente número de doble precisión mayor.

e = eps(1e10)

e =
   1.9073e-06

De forma similar, busque la distancia desde 5 y el siguiente número de precisión simple mayor.

x = single(5);
e = eps(x)

e = 
   single 
   4.7684e-07

Los vacíos entre números de precisión simple son mayores que los vacíos entre números de doble precisión porque hay menos números de precisión simple. Por lo tanto, los resultados de los cálculos de precisión simple son menos precisos que los resultados de los cálculos de doble precisión.

Cuando se convierte un número de doble precisión a un número de precisión simple, se puede determinar el límite superior para la cantidad a la que se redondea el número usando la función eps. Por ejemplo, cuando convierte el número de doble precisión 3.14 a precisión simple, el número se redondea a eps(single(3.14)) como máximo.

Vacíos entre enteros de punto flotante consecutivos

La función flintmax devuelve el entero consecutivo más grande en formato de punto flotante. Por encima de este valor, los enteros de punto flotante consecutivos tienen un vacío mayor que 1.

Busque el vacío entre flintmax y el siguiente número de punto flotante usando eps:

format long
x = flintmax

x =
   9.007199254740992e+15

e = eps(x)

e =
   2

Dado que eps(x) es 2, el siguiente número de punto flotante mayor que se puede representar de manera exacta es x + 2.

y = x + e

y =
   9.007199254740994e+15

Si añade 1 a x, el resultado se redondea a x.

z = x + 1

z =
   9.007199254740992e+15

Operaciones aritméticas en números de punto flotante

Puede usar un intervalo de tipos de datos en operaciones aritméticas con números de punto flotante, y el tipo de datos del resultado depende de los tipos de entrada. Sin embargo, cuando realiza operaciones con diferentes tipos de datos, es posible que algunos cálculos no sean exactos debido a las aproximaciones o las conversiones intermedias.

Operandos de doble precisión

Puede realizar operaciones aritméticas básicas con double y cualquiera de los siguientes tipos de datos. Si uno o más operandos son un escalar o un arreglo de enteros, el operando double debe ser un escalar. El resultado es de tipo double, salvo cuando se especifique lo contrario.

single: el resultado es de tipo single.
double
int8, int16, int32, int64: el resultado tiene el mismo tipo de datos que el operando de enteros.
uint8, uint16, uint32, uint64: el resultado tiene el mismo tipo de datos que el operando de enteros.
char
logical

Operandos de precisión simple

Puede realizar operaciones aritméticas básicas con single y cualquiera de los siguientes tipos de datos. El resultado es de tipo single.

single
double
char
logical

Resultados inesperados con operaciones aritméticas de punto flotante

Casi todas las operaciones en MATLAB se realizan con operaciones aritméticas de doble precisión de conformidad con el estándar 754 del IEEE. Dado que los ordenadores representan números con una precisión finita, algunos cálculos pueden generar resultados no intuitivos desde el punto de vista matemático. Algunos problemas habituales que pueden surgir mientras se realizan cálculos con números de punto flotante son errores de redondeo, cancelaciones, empantanamiento y conversiones intermedias. Los resultados inesperados no son bugs de MATLAB y se producen en cualquier software que utilice números de punto flotante. Para representaciones racionales exactas de números, considere usar Symbolic Math Toolbox™.

Errores de redondeo

Los errores de redondeo se pueden producir debido a la representación con precisión finita de números de punto flotante. Por ejemplo, el número 4/3 no se puede representar de manera exacta como una fracción binaria. De esta forma, este cálculo devuelve la cantidad eps(1) en lugar de 0.

e = 1 - 3*(4/3 - 1)

e =
   2.2204e-16

De forma similar, dado que pi no es una representación exacta de π, sin(pi) no es exactamente cero.

x = sin(pi)

x =
   1.2246e-16

Los errores de redondeo se observan mejor cuando se realizan muchas operaciones en números flotantes, lo que permite a los errores acumularse y agravarse. Una práctica recomendada es minimizar el número de operaciones siempre que sea posible.

Cancelación

La cancelación puede producirse cuando se resta un número de otro número de aproximadamente la misma magnitud, medida por eps. Por ejemplo, eps(2^53) es 2, de modo que los números 2^53 + 1 y 2^53 tienen la misma representación de punto flotante.

x = (2^53 + 1) - 2^53

x =
   0

Cuando sea posible, intente reescribir los cálculos en un formato equivalente que evite las cancelaciones.

Empantanamiento

El empantanamiento puede producirse cuando se realizan operaciones en números de punto flotante con una diferencia entre ellos de muchos órdenes de magnitud. Por ejemplo, este cálculo muestra una pérdida de precisión que hace que la suma sea insignificante.

x = 1 + 1e-16

x =  
   1

Conversiones intermedias

Cuando realiza operaciones aritméticas con diferentes tipos de datos, los cálculos y las conversiones intermedias pueden generar resultados inesperados. Por ejemplo, aunque tanto x como y son 0.2, restarlos genera un resultado distinto de cero. La razón es que y se convierte en primer lugar a double antes de realizar la resta. Después, el resultado de esta resta se convierte a single, z.

format long 
x = 0.2

x = 
   0.200000000000000

y = single(0.2)

y = 
   single
   0.2000000

z = x - y

z = 
   single 
   -2.9802323e-09

Álgebra lineal

Los problemas habituales en las operaciones aritméticas, como los descritos anteriormente, pueden agravarse cuando se aplican a problemas de álgebra lineal porque los cálculos relacionados constan normalmente de varios pasos. Por ejemplo, cuando se resuelve el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, MATLAB advierte de que es posible que los resultados no sean precisos porque la matriz de operandos A está mal condicionada.

A = diag([2 eps]);
b = [2; eps];
x = A\b;

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. 
         Results may be inaccurate. RCOND = 1.110223e-16.

Referencias

[1] Moler, Cleve. Numerical Computing with MATLAB. Natick, MA: The MathWorks, Inc., 2004.

Consulte también

Funciones

double | single | flintmax | realmax | realmin | eps | isfloat