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Tipo de Burr XII distribución

Definición

La distribución Burr tipo XII es una familia de distribuciones de tres parámetros en la línea real positiva. La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución de Burr es

F(x|α,c,k)=11(1+(xα)c)k,x>0,α>0,c>0,k>0,

donde y son los parámetros de la forma y α es el parámetro de escala.ck La función de densidad de probabilidad (pdf) es

f(x|α,c,k)=kcα(xα)c1(1+(xα)c)k+1,x>0,α>0,c>0,k>0.

La densidad de la distribución de Burr tipo XII es en forma de L si ≤ 1 y unimodal, de lo contrario.c

Fondo

La distribución de Burr fue discutida por primera vez por Burr (1942) como una familia de dos parámetros. Un parámetro de escala adicional fue introducido por Tadikamalla (1980). Es una familia de distribución flexible que puede expresar una amplia gama de formas de distribución. La distribución de Burr incluye, solapa, o tiene como un caso limitante, muchas distribuciones de uso común tales como gamma, lognormal, loglogística, en forma de campana, y distribuciones beta en forma de J (pero no en forma de U). Algunas distribuciones compuestas también corresponden a la distribución de Burr. Por ejemplo, la composición de una distribución de Weibull con una distribución gamma para su parámetro de escala da como resultado una distribución de Burr. Del mismo modo, la composición de una distribución exponencial con una distribución gamma para su parámetro de velocidad, 1/μ, también produce una distribución de Burr. La distribución de Burr también tiene dos casos limitantes asintóticos: Weibull y Pareto tipo I.

La distribución de Burr puede ajustarse a una amplia gama de datos empíricos. Diferentes valores de sus parámetros cubren un amplio conjunto de asimetría y curtosis. Por lo tanto, se utiliza en varios campos como finanzas, hidrología y confiabilidad para modelar una variedad de tipos de datos. Ejemplos de datos modelados por la distribución de Burr son los ingresos del hogar, los precios de los cultivos, el riesgo de seguros, el tiempo de viaje, los niveles de inundación y los datos de fallas.

Las funciones de supervivencia y riesgo de la distribución Burr tipo XII son, respectivamente,

S(x|α,c,k)=1[1+(xα)c]k

Y

h(x|α,c,k)=kcα(xα)c11+(xα)c.

Si > 1, la función de peligro h () no es monótona con un modo a = α (– 1)cxxc1/c.

Parámetros

La distribución Burr de tres parámetros se define por su parámetro de escala α y parámetros de forma y.ck Puede estimar los parámetros utilizando o.mlefitdist Ambas funciones soportan datos censurados para la distribución de Burr.

Genere datos de ejemplo de una distribución de Burr con el parámetro de escala 0,5 y los parámetros de forma 2 y 5.

rng('default') R = random('burr',0.5,2,5,1000,1); 

Calcule los parámetros y los intervalos de confianza. Los intervalos de confianza predeterminados de 95% para los parámetros incluyen los valores de parámetro true.

[phat,pci] = mle(R,'distribution','burr') 
phat =      0.4154    2.1217    4.0550   pci =      0.2985    1.9560    2.4079     0.5782    2.3014    6.8288

La distribución de Burr de tres parámetros converge asintóticamente a una de las dos formas limitantes a medida que sus parametros divergen:

  • Si → 0, → ∞, = λ, la distribución de Burr se reduce a una distribución de Pareto de dos parámetros con la CDFkcck

    FP=1(xα)λ,xα.

  • Si → ∞, α → ∞, α/kk1/c = θ, la distribución de Burr se reduce a una distribución de Weibull de dos parámetros con la CDF

    FW(x|c,θ)=1exp[(xθ)c].

Si o detecta tal divergencia, devuelve un mensaje de error, pero le informa de la distribución limitante y las estimaciones de parámetros correspondientes para esa distribución.mlefitdist

Ajuste una distribución de Burr y dibuje la CDF

Este ejemplo muestra cómo ajustar una distribución de Burr a los datos, dibujar la CDF y construir un histograma con un ajuste de distribución de Burr.

1. Cargue los datos de ejemplo.

load arrhythmia

La quinta columna contiene una medida obtenida a partir de electrocardiogramas, llamada duración de QRS.X

2. Ajuste una distribución Burr a los datos de duración QRS y obtenga las estimaciones de parámetros.

PD = fitdist(X(:,5),'burr');

tiene las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros de distribución de Burr en la propiedad.PDParam Las estimaciones son α = 80,4515,

<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
= 18,9251,
<math display="block">
<mrow>
<mi>k</mi>
</mrow>
</math>
= 0,4492.

3. Trace la CDF de los datos de duración de QRS.

QRScdf=cdf('burr',sortrows(X(:,5)),80.4515,18.9251,0.4492); plot(sortrows(X(:,5)),QRScdf)  title('QRS duration data') xlabel('QRS Duration')

4. Dibuje el histograma de los datos de duración QRS con 15 bins y el pdf del ajuste de distribución Burr.

histfit(X(:,5),15,'burr') title('Histogram of QRS data with a Burr distribution fit') xlabel('QRS Duration')

Compare los archivos PDF de lognormal y Burr Distribution

Compare el pdf lognormal con el pdf Burr utilizando datos de ingresos generados a partir de una distribución lognormal.

Genere los datos de ingresos.

rng('default') % For reproducibility y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Ajuste una distribución de Burr.

pd = fitdist(y,'burr')
pd =    BurrDistribution    Burr distribution     alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]         c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]         k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]  

Trace los archivos PDF Burr y lognormal de los datos de ingresos en la misma figura.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y)); p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65); plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.') title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data') legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Burr PDF para varios parámetros

Este ejemplo muestra cómo crear una variedad de formas para las funciones de densidad de probabilidad de la distribución de Burr.

X = 0:0.01:5; c = [0.5 0.95 2 5]; k = [0.5 0.75 2 5]; alpha = [0.5 1 2 5]; colors = ['b';'g';'r';'k']';  figure for i = 1:1:4 pdf1(i,:) = pdf('burr',X,1,c(i),0.5); pdf2(i,:) = pdf('burr',X,1,2,k(i)); pdf3(i,:) = pdf('burr',X,alpha(i),2,0.5);   axC = subplot(3,1,1); pC(i) = plot(X,pdf1(i,:),colors(i),'LineWidth',2); title('Effect of c, \alpha = 1, k = 0.5'),xlabel('x')  hold on   axK = subplot(3,1,2); pK(i) = plot(X,pdf2(i,:),colors(i),'LineWidth',2); title('Effect of k, \alpha = 1, c = 2'),xlabel('x')  hold on   axAlpha = subplot(3,1,3); pAlpha(i) = plot(X,pdf3(i,:),colors(i),'LineWidth',2); title('Effect of \alpha, c = 2, k = 0.5'),xlabel('x')  hold on end  set(axC,'XLim',[0 3],'YLim',[0 1.2]); set(axK,'XLim',[0 3],'YLim',[0 2.1]); set(axAlpha,'XLim',[0 5],'YLim',[0 1]);  legend(axC,'c=0.5','c=0.95','c=2','c=5'); legend(axK,'k=0.5','k=0.75','k=2','k=5'); legend(axAlpha,'\alpha=0.5','\alpha=1','\alpha=2','\alpha=5');

Esta figura ilustra cómo cambia la forma y la escala de la distribución de Burr para los diferentes valores de sus parámetros.

Funciones de supervivencia y riesgo de la distribución de Burr

Este ejemplo muestra cómo encontrar y trazar las funciones de supervivencia y peligro para una muestra procedente de una distribución de Burr.

Genere los datos.

 X = 0:0.015:2.5;

Evalúe el PDF y el CDF de los datos en.X

Xpdf = pdf('burr',X,0.2,5,0.5); Xcdf = cdf('burr',X,0.2,5,0.5);

Evaluar y trazar la función de supervivencia de los datos en.X

S = 1.-Xcdf; % survival function plot(X,S,'LineWidth',2) title('Survival function') xlabel('x')

Evalúe y trace la función de riesgo de los datos en.X

H = Xpdf./S; % hazard function plot(X,H,'r','LineWidth',2) title('Hazard function') xlabel('x')

Divergencia de estimaciones de parámetros

Este ejemplo muestra cómo interpretar la visualización cuando el parámetro estima divergir al ajustar una distribución de Burr a los datos de entrada.

1. Genere datos de muestra de la distribución de Weibull con los parámetros 0,5 y 2.

rng('default') % for reproducibility X = wblrnd(0.5,2,100,1);

2. Ajuste una distribución de Burr.

PD = fitdist(X,'burr');
Error using addburr>burrfit (line 566) The data are not fit by a Burr distribution with finite parameters.  The maximum likelihood fit is provided by the k->Inf, alpha->Inf  limiting form of the Burr distribution: a Weibull distribution  with the parameters below.  a (scale): 0.476817  b (shape): 1.96219  Error in prob.BurrDistribution.fit (line 246)             p = burrfit(x,0.05,cens,freq,opt);  Error in fitdist>localfit (line 238) pd = feval(fitter,x,'cens',c,'freq',f,varargin{:});  Error in fitdist (line 185)     pd = localfit(dist,fitter,x,cens,freq,args{:});

El mensaje de error le indica que la familia Weibull parece encajar mejor los datos y le da las estimaciones de parámetros de un ajuste de Weibull. Puede utilizar esas estimaciones directamente. Si necesita estimaciones de covarianza para los parámetros u otra información sobre el ajuste, puede volver a ajustar una distribución de Weibull a los datos.

3. Ajuste una distribución de Weibull a los datos y encuentre los intervalos de confianza para las estimaciones de parámetros.

PD = fitdist(X,'weibull'); paramci(PD)
ans =      0.4291    1.6821     0.5298    2.2890

Estos son los intervalos de confianza de 95% de las estimaciones de parámetros para el ajuste de distribución de Weibull.

Referencias

[1] Burr, Irving W. “Cumulative frequency functions.” The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 13, Number 2, 1942, pp. 215–232.

[2] Tadikamalla, Pandu R. “A look at the Burr and related distributions.” International Statistical Review, Vol. 48, Number 3, 1980, pp. 337–344.

[3] Rodriguez, Robert N. “A guide to the Burr type XII distributions.” Biometrika, Vol. 64, Number 1, 1977, pp. 129–134.

[4] AL-Hussaini, Essam K. “A characterization of the Burr type XII distribution”. Appl. Math. Lett. Vol. 4, Number 1, 1991, pp. 59–61.

[5] Grammig, Joachim and Kai-Oliver Maurer. “Non-monotonic hazard functions and the autoregressive conditional duration model.” Econometrics Journal, Vol. 3, 2000, pp. 16–38.

Consulte también

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