kalman

Diseñar un filtro de Kalman para la estimación de estados

Sintaxis

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N)

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N,sensors,known)

[kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___)

[kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___,type)

Descripción

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N) crea un filtro de Kalman dado el modelo de planta sys y de los datos de covarianza de ruido Q, R y N. La función calcula un filtro de Kalman para utilizar en un estimador de Kalman con la configuración que se muestra en el siguiente diagrama.

Puede generar el modelo sys con las entradas conocidas u y las entradas de ruido blanco de proceso w, de forma que w consta de las últimas N_w entradas en sys. La salida de la planta "verdadera" y_t consta de todas las salidas de sys. También puede proporcionar los datos de covarianza de ruido Q, R y N. El filtro de Kalman devuelto kalmf es un modelo de espacio de estados que toma las entradas conocidas u y las mediciones con ruido y, y genera una estimación $$\widehat{y}$$ de la salida de la planta verdadera y una estimación $$\widehat{x}$$ de los estados de la planta. kalman también devuelve las ganancias de Kalman L y la matriz de covarianzas de error de estado estacionario P.

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N,sensors,known) calcula un filtro de Kalman cuando existe una de las siguientes condiciones o ambas.

• No se miden todas las salidas de sys.

• Las entradas de perturbación w no son las últimas entradas de sys.

El vector índice sensors especifica qué salidas de sys se miden. Estas salidas generan y. El vector índice known especifica qué entradas son conocidas (determinístico). Las entradas conocidas generan u. El comando kalman toma las entradas restantes de sys como entradas estocásticas w.

[kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___) también devuelve las ganancias de innovación Mx y My y las covarianzas de error en estado estacionario P y Z para un valor sys en tiempo discreto. Puede utilizar esta sintaxis con cualquiera de las combinaciones de argumentos de entrada anteriores.

[kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___,type) especifica el tipo de estimador para un valor sys en tiempo discreto.

• type = 'current': calcula las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n]$$ utilizando todas las mediciones disponibles hasta $$y[n]$$.

• type = 'delayed': calcula las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n-1]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n-1]$$ utilizando solo las mediciones hasta $$y\left[n-1\right]$$. El estimador con retardo es más fácil de implementar dentro de los lazos de control.

Puede utilizar el argumento de entrada type con cualquiera de las combinaciones de argumentos de entrada anteriores.

Ejemplos

Diseñar un filtro de Kalman para una planta SISO

Diseñe un filtro de Kalman para una planta con ruido blanco aditivo w en la entrada y v en la salida, como se muestra en el siguiente diagrama.

Supongamos que la planta tiene las siguientes matrices de espacio de estados y es una planta en tiempo discreto con un tiempo de muestreo no especificado (Ts = -1).

A = [1.1269   -0.4940    0.1129 
     1.0000         0         0 
          0    1.0000         0];

B = [-0.3832
      0.5919
      0.5191];

C = [1 0 0];

D = 0;

Plant = ss(A,B,C,D,-1);
Plant.InputName = 'un';
Plant.OutputName = 'yt';

Para utilizar kalman, debe proporcionar un modelo sys que tenga una entrada para el ruido w. De este modo, sys no es igual a Plant, ya que Plant toma la entrada un = u + w. Puede generar sys creando una unión de suma para la entrada de ruido.

Sum = sumblk('un = u + w');
sys = connect(Plant,Sum,{'u','w'},'yt');

De manera equivalente, puede utilizar sys = Plant*[1 1].

Especifique las covarianzas de ruido. Puesto que la planta tiene una entrada de ruido y una salida, estos valores son escalares. En la práctica, estos valores son propiedades de las fuentes de ruido en su sistema, que se determina midiendo el sistema o por otros medios. En este ejemplo, supongamos que ambas fuentes de ruido tienen la misma covarianza unitaria y no están correlacionadas (N = 0).

Q = 1;
R = 1;
N = 0;

Diseñe el filtro.

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N);
size(kalmf)

State-space model with 4 outputs, 2 inputs, and 3 states.

El filtro de Kalman kalmf es un modelo de espacio de estados que tiene dos entradas y cuatro salidas. kalmf toma como entradas la señal de entrada de la planta u y la salida de la planta con ruido $$y=y_t+v$$. La primera salida es la salida de la planta verdadera estimada $$\underset{}{\overset{ˆ}{y}}$$. Las tres salidas restantes son las estimaciones de estado $$\underset{}{\overset{ˆ}{x}}$$. Examine los nombres de entrada y salida de kalmf para ver cómo kalman los etiqueta en consecuencia.

kalmf.InputName

ans = 2x1 cell
    {'u' }
    {'yt'}

kalmf.OutputName

ans = 4x1 cell
    {'yt_e'}
    {'x1_e'}
    {'x2_e'}
    {'x3_e'}

Examine las ganancias de Kalman L. En una planta SISO con tres estados, L es un vector columna de tres elementos.

L

L = 3×1

    0.3586
    0.3798
    0.0817

Para ver un ejemplo que muestra cómo usar kalmf para reducir el error de medición debido al ruido, consulte Filtro de Kalman.

Diseñar un filtro de Kalman para una planta MIMO

Considere una planta con tres entradas, una de las cuales represente el ruido de proceso w y dos salidas medidas. La planta tiene cuatro estados.

Suponiendo las siguientes matrices de espacio de estados, cree sys.

A = [-0.71  0.06 -0.19 -0.17;
      0.06 -0.52 -0.03  0.30;
     -0.19 -0.03 -0.24 -0.02;
     -0.17  0.30 -0.02 -0.41];

B = [ 1.44  2.91   0;
     -1.97  0.83 -0.27;
     -0.20  1.39  1.10;
     -1.2   0    -0.28];

C = [ 0    -0.36 -1.58 0.28;
     -2.05  0     0.51 0.03];

D = zeros(2,3);

sys = ss(A,B,C,D);
sys.InputName = {'u1','u2','w'};
sys.OutputName = {'y1','y2'};

Puesto que la planta solo tiene una entrada de ruido de proceso, la covarianza Q es un escalar. En este ejemplo, asuma que el ruido de proceso tiene covarianza unitaria.

Q = 1;

kalman utiliza las dimensiones de Q para determinar qué entradas son conocidas y cuáles son las entradas de ruido. Para el escalar Q, kalman asume una entrada de ruido y utiliza la última entrada, a menos que especifique lo contrario (consulte Planta con salidas no medidas).

Para el ruido de medición en las dos salidas, especifique una matriz de covarianzas de ruido de 2 por 2. En este ejemplo, utilice una varianza unitaria para la primera salida y una varianza de 1.3 para la segunda salida. Establezca los valores fuera de la diagonal en cero para indicar que los dos canales de ruido no están correlacionados.

R = [1 0;
     0 1.3];

Diseñe el filtro de Kalman.

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R);

Examine las entradas y las salidas. kalman utiliza las propiedades InputName, OutputName, InputGroup y OutputGroup de kalmf para ayudar a recordar qué representan las entradas y las salidas de kalmf.

kalmf.InputGroup

ans = struct with fields:
     KnownInput: [1 2]
    Measurement: [3 4]

kalmf.InputName

ans = 4x1 cell
    {'u1'}
    {'u2'}
    {'y1'}
    {'y2'}

kalmf.OutputGroup

ans = struct with fields:
    OutputEstimate: [1 2]
     StateEstimate: [3 4 5 6]

kalmf.OutputName

ans = 6x1 cell
    {'y1_e'}
    {'y2_e'}
    {'x1_e'}
    {'x2_e'}
    {'x3_e'}
    {'x4_e'}

Así, las dos entradas conocidas u1 y u2 son las dos primeras entradas de kalmf y las dos salidas medidas y1 e y2 son las dos últimas entradas en kalmf. En las salidas de kalmf, las primeras dos son las salidas estimadas, y las cuatro restantes son las estimaciones de estado. Para usar el filtro de Kalman, conecte estas entradas con la planta y las señales de ruido de forma análoga a la que se muestra para una planta SISO en Filtro de Kalman.

Planta con salidas no medidas

Considere una planta con cuatro entradas y dos salidas. La primera y la tercera entrada son conocidas, mientras que la segunda y la cuarta representan el ruido de proceso. La planta también tiene dos salidas, pero solo se mide la segunda.

Utilice las siguientes matrices de espacio de estados para crear sys.

A = [-0.37  0.14 -0.01  0.04;
     0.14 -1.89  0.98 -0.11;
    -0.01  0.98 -0.96 -0.14;
     0.04 -0.11 -0.14 -0.95];

B = [-0.07 -2.32  0.68  0.10;
     -2.49  0.08  0     0.83;
      0    -0.95  0     0.54;
     -2.19  0.41  0.45  0.90];

C = [ 0     0    -0.50 -0.38;
     -0.15 -2.12 -1.27  0.65];

D = zeros(2,4);

sys = ss(A,B,C,D,-1);    % Discrete with unspecified sample time

sys.InputName = {'u1','w1','u2','w2'};
sys.OutputName = {'yun','ym'};

Para utilizar kalman para diseñar un filtro para este sistema, utilice los argumentos de entrada known y sensors para especificar qué entradas de la planta son conocidas y qué salida se mide.

known = [1 3];
sensors = [2];

Especifique las covarianzas de ruido y diseñe el filtro.

Q = eye(2);
R = 1;
N = 0;

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N,sensors,known); 

Al examinar las etiquetas de entrada y salida de kalmf se pueden observar las entradas que prevé el filtro y las salidas que devuelve.

kalmf.InputGroup

ans = struct with fields:
     KnownInput: [1 2]
    Measurement: 3

kalmf.InputName

ans = 3x1 cell
    {'u1'}
    {'u2'}
    {'ym'}

kalmf toma como entrada las dos entradas conocidas de sys y las salidas medidas con ruido de sys.

kalmf.OutputGroup

ans = struct with fields:
    OutputEstimate: 1
     StateEstimate: [2 3 4 5]

La primera salida de kalmf es la estimación del valor verdadero de la salida de la planta medida. Las salidas restantes son las estimaciones de estado.

Argumentos de entrada

sys — Modelo de planta con ruido de proceso

modelo ss

Modelo de planta con ruido de proceso, especificado como modelo de espacio de estados (ss). La planta tiene entradas conocidas u y entradas de ruido blanco de proceso w. La salida de la planta yt no incluye el ruido de medición.

Puede escribir las matrices de espacio de estados de un modelo de planta de ese tipo como:

$$A,[BG],C,[DH]$$

kalman asume el ruido gaussiano v en la salida. De este modo, en tiempo continuo, las ecuaciones de espacio de estados con las que funciona kalman son:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

En tiempo discreto, las ecuaciones de espacio de estados son:

$$\begin{array}{l}x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n]\\ y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n]\end{array}$$

Si no utiliza el argumento de entrada known, kalman utiliza el tamaño de Q para determinar qué entradas de sys son entradas de ruido. En este caso, kalman trata las últimas entradas N_w = size(Q,1) como las entradas de ruido. Cuando las entradas de ruido w no son las últimas entradas de sys, puede utilizar el argumento de entrada known para especificar qué entradas de la planta son conocidas. kalman trata el resto de las entradas como estocásticas.

Para ver otras restricciones de las propiedades de las matrices de la planta, consulte Limitaciones.

Q — Covarianza de ruido de proceso

escalar | matriz

Covarianza de ruido de proceso, especificada como escalar o matriz de N_w por N_w, donde N_w es el número de entradas de ruido de la planta. kalman utiliza el tamaño de Q para determinar qué entradas de sys son entradas de ruido, tomando las últimas entradas N_w = size(Q,1) para que sean las entradas de ruido a menos que especifique lo contrario con el argumento de entrada known.

kalman asume que el ruido de proceso w es ruido gaussiano con covarianza Q = E(ww^T). Cuando la planta solo tiene una entrada de ruido de proceso, Q es un escalar igual a la varianza de w. Cuando la planta tiene varias entradas de ruido no correlacionadas, Q es una matriz diagonal. En la práctica, se determinan los valores adecuados para Q midiendo o haciendo conjeturas fundamentadas sobre las propiedades del ruido del sistema.

R — Covarianza de ruido de medición

escalar | matriz

Covarianza de ruido de medición, especificada como escalar o matriz de N_y por N_y, donde N_y es el número de salidas de la planta. kalman asume que el ruido de medición v es ruido blanco con covarianza R = E(vv^T). Cuando la planta solo tiene un canal de salida, R es un escalar igual a la varianza de v. Cuando la planta tiene varios canales de salida con ruido de medición no correlacionado, R es una matriz diagonal. En la práctica, se determinan los valores adecuados para R midiendo o haciendo conjeturas fundamentadas sobre las propiedades del ruido del sistema.

Para ver otras restricciones de la covarianza de ruido de medición, consulte Limitaciones.

N — Covarianza cruzada de ruido

0 (predeterminado) | escalar | matriz

Covarianza cruzada de ruido, especificada como escalar o matriz de N_y por N_w. kalman supone que el ruido de proceso w y el ruido de medición v satisfacen N = E(wv^T). Si las dos fuentes de ruido no están correlacionadas, puede omitir N, lo que es equivalente a establecer N = 0. En la práctica, se determinan los valores adecuados para N midiendo o haciendo conjeturas fundamentadas sobre las propiedades del ruido del sistema.

sensors — Salidas medidas de sys

vector

Salidas medidas de sys, especificadas como vector de índices que identifica qué salidas de sys se miden. Por ejemplo, supongamos que el sistema tiene tres salidas, pero solo se miden dos de ellas, que se corresponden con la primera y la tercera salida de sys. En este caso, establezca sensors = [1 3].

known — Entradas conocidas de sys

vector

Entradas conocidas de sys, especificadas como vector de índices que identifica qué entradas son conocidas (determinista). Por ejemplo, supongamos que el sistema tiene tres entradas, pero solo la primera y la segunda entrada son conocidas. En este caso, establezca known = [1 2]. kalman interpreta cualquier entrada restante de sys como estocástica.

type — Tipo de estimador en tiempo discreto

'current' (predeterminado) | 'delayed'

Tipo de estimador en tiempo discreto que se desea calcular, especificado como 'current' o 'delayed'. Esta entrada solo es pertinente para sys en tiempo discreto.

• 'current': calcula las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n]$$ utilizando todas las mediciones disponibles hasta $$y[n]$$.

• 'delayed': calcula las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n-1]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n-1]$$ utilizando solo las mediciones hasta $$y\left[n-1\right]$$. El estimador con retardo es más fácil de implementar dentro de los lazos de control.

Para obtener información sobre cómo calcula kalman las estimaciones actuales y con retardo, consulte Estimación en tiempo discreto.

Argumentos de salida

kalmf — Estimador de Kalman

modelo ss

Estimador de Kalman o filtro de Kalman, devuelto como modelo de espacio de estados (ss). El estimador resultante tiene entradas $$[u;y]$$ y salidas $$\left[\widehat{y};\widehat{x}\right]$$. Es decir, kalmf toma como entradas la entrada de la planta u y la salida de la planta con ruido y, y genera como salidas la salida de la planta estimada sin ruido $$\widehat{y}$$ y los valores de estado estimados $$\widehat{x}$$.

kalman establece automáticamente las propiedades InputName, OutputName, InputGroup y OutputGroup de kalmf para ayudar a recordar qué entradas y salidas se corresponden con cada señal.

En el caso de las ecuaciones de estado y de salida de kalmf, consulte Estimación en tiempo continuo y Estimación en tiempo discreto.

L — Ganancias de filtro

arreglo

Ganancias de filtro, devueltas como arreglo de tamaño N_x por N_y, donde N_x es el número de estados en la planta y N_y es el número de salidas de la planta. En tiempo continuo, la ecuación de estado del filtro de Kalman es:

$$\dot{\widehat{x}}=A\widehat{x}+Bu+L(y-C\widehat{x}-Du).$$

En tiempo discreto, la ecuación de estado es:

$$\widehat{x}[n+1|n]=A\widehat{x}[n|n-1]+Bu[n]+L(y[n]-C\widehat{x}[n|n-1]-Du[n]).$$

Para obtener información sobre estas expresiones y sobre cómo se calcula L, consulte Estimación en tiempo continuo y Estimación en tiempo discreto.

P, Z — Covarianzas de error de estado estacionario

arreglo

Covarianzas de error de estado estacionario, devueltas como N_x por N_x, donde N_x es el número de estados en la planta. El filtro de Kalman calcula las estimaciones de estado que minimizan P. En tiempo continuo, la covarianza de error de estado estacionario está dada por:

$$P=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left(\left\{x-\widehat{x}\right\}{\left\{x-\widehat{x}\right\}}^T\right).$$

En tiempo discreto, las covarianzas de error de estado estacionario están dadas por:

$$\begin{array}{l}P=\underset{n\to \infty }{\lim }E\left(\left\{x\left[n\right]-\widehat{x}\left[n|n-1\right]\right\}{\left\{x\left[n\right]-\widehat{x}\left[n|n-1\right]\right\}}^T\right),\\ Z=\underset{n\to \infty }{\lim }E\left(\left\{x\left[n\right]-\widehat{x}\left[n|n\right]\right\}{\left\{x\left[n\right]-\widehat{x}\left[n|n\right]\right\}}^T\right).\end{array}$$

Para obtener más información sobre estas cantidades y cómo las utiliza kalman, consulte Estimación en tiempo continuo y Estimación en tiempo discreto.

Mx, My — Ganancias de innovación de los estimadores de estado

arreglo

Ganancias de innovación de los estimadores de estado para sistemas en tiempo discreto, devueltas como arreglo.

Mx y My son pertinentes solo cuando type = 'current', que es el estimador predeterminado para sistemas en tiempo discreto. Para sys en tiempo continuo o type = 'delayed', Mx = My = [].

En el caso del estimador de tipo 'current', Mx y My son las ganancias de innovación en las ecuaciones de actualización:

$$\widehat{x}\left[n|n\right]=\widehat{x}\left[n|n-1\right]+M_x\left(y\left[n\right]-C\widehat{x}\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]\right)$$

$$\widehat{y}\left[n|n\right]=C\widehat{x}\left[n|n-1\right]+Du\left[n\right]+M_y\left(y\left[n\right]-C\widehat{x}\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]\right)$$

Cuando no hay alimentación directa entre la entrada de ruido w y la salida de la planta y (es decir, cuando H = 0, consulte Estimación en tiempo discreto), $$M_y=C{M}_x$$, y la estimación de salida se simplifica como $$\widehat{y}\left[n|n\right]=C\widehat{x}\left[n|n\right]+Du\left[n\right]$$.

Las dimensiones de los arreglos Mx y My dependen de las dimensiones de sys de la siguiente forma.

• Mx: N_x por N_y, donde N_x es el número de estados en la planta y N_y es el número de salidas.

• My: N_y por N_y.

Para obtener información sobre cómo kalman obtiene Mx y My, consulte Estimación en tiempo discreto.

Limitaciones

Los datos de la planta y de ruido deben satisfacer:

• (C,A) es detectable, donde:

• $$\overline{R}>0$$ y $$\left[\begin{array}{cc}\overline{Q}& \overline{N};\begin{array}{cc}{\overline{N}}^{\prime }& \overline{R}\end{array}\end{array}\right]\ge 0$$, donde

  $$\left[\begin{array}{cc}\overline{Q}& \overline{N}\\ {\overline{N}}^{\prime }& \overline{R}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}G& 0\\ H& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^{\prime }& R\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}G& 0\\ H& I\end{array}\right]}^{\prime }.$$

• $$(A-\overline{N}{\overline{R}}^{-1}C,\overline{Q}-\overline{N}{\overline{R}}^{-1}{\overline{N}}^T)$$ no tiene ningún modo no controlable en el eje imaginario en tiempo continuo, o en el círculo unitario en tiempo discreto.

Algoritmos

Estimación en tiempo continuo

Considere una planta en tiempo continuo con las entradas conocidas u, el ruido blanco de proceso w y el ruido blanco de medición v:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Gw\\ y=Cx+Du+Hw+v\end{array}$$

Las señales de ruido w y v satisfacen:

$$E(w)=E(v)=0,E(w{w}^T)=Q,E(v{v}^T)=R,E(w{v}^T)=N$$

El filtro de Kalman, o estimador de Kalman, calcula una estimación de estado $$\widehat{x}(t)$$ que minimiza la covarianza de error de estado estacionario:

$$P=\underset{t\to \infty }{\lim }E\left(\left\{x-\widehat{x}\right\}{\left\{x-\widehat{x}\right\}}^T\right).$$

El filtro de Kalman tiene las siguientes ecuaciones de estado y de salida:

$$\begin{array}{l}\frac{d\widehat{x}}{dt}=A\widehat{x}+Bu+L(y-C\widehat{x}-Du)\\ \left[\begin{array}{c}\widehat{y}\\ \widehat{x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}C\\ I\end{array}\right]\widehat{x}+\left[\begin{array}{c}D\\ 0\end{array}\right]u\end{array}$$

Para obtener la ganancia del filtro L, kalman resuelve una ecuación algebraica de Riccati para obtener

$$L=(P{C}^T+\overline{N}){\overline{R}}^{-1}$$

donde

$$\begin{array}{l}\overline{R}=R+HN+N^T{H}^T+HQ{H}^T\\ \overline{N}=G(Q{H}^T+N)\end{array}$$

P resuelve la ecuación algebraica de Riccati correspondiente.

El estimador utiliza las entradas conocidas u y las mediciones y para generar las estimaciones de salida y de estado $$\widehat{y}$$ y $$\widehat{x}$$.

Estimación en tiempo discreto

La planta discreta está dada por:

$$\begin{array}{l}x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n]\\ y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n]\end{array}$$

En tiempo discreto, las señales de ruido w y v satisfacen:

$$E(w[n]w{[n]}^T)=Q,E(v[n]v{[n]}^T)=R,E(w[n]v{[n]}^T)=N$$

El estimador en tiempo discreto tiene la siguiente ecuación de estado:

$$\widehat{x}[n+1|n]=A\widehat{x}[n|n-1]+Bu[n]+L(y[n]-C\widehat{x}[n|n-1]-Du[n]).$$

kalman resuelve una ecuación discreta de Riccati para obtener la matriz de ganancia L:

$$L=(AP{C}^T+\overline{N}){(CP{C}^T+\overline{R})}^{-1}$$

donde

$$\begin{array}{l}\overline{R}=R+HN+N^T{H}^T+HQ{H}^T\\ \overline{N}=G(Q{H}^T+N)\end{array}$$

kalman puede calcular dos variantes del estimador de Kalman en tiempo discreto, el estimador actual (type = 'current') y el estimador con retardo (type = 'delayed').

• Estimador actual: genera las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n]$$ utilizando todas las mediciones disponibles hasta $$y[n]$$. Este estimador tiene la ecuación de salida

  $$\left[\begin{array}{c}\widehat{y}\left[n|n\right]\\ \widehat{x}\left[n|n\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\left(I-M_y\right)C\\ I-M_{x}C\end{array}\right]\widehat{x}\left[n|n-1\right]+\left[\begin{array}{cc}\left(I-M_y\right)D& M_y\\ -M_{x}D& M_x\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\left[n\right]\\ y\left[n\right]\end{array}\right].$$

  donde las ganancias de innovación M_x y M_y se definen como:

  $$\begin{array}{c}{M}_x=P{C}^T{\left(CP{C}^T+\overline{R}\right)}^{-1},\\ M_y=\left(CP{C}^T+HQ{H}^T+HN\right){\left(CP{C}^T+\overline{R}\right)}^{-1}.\end{array}$$

  De este modo, M_x actualiza la estimación de estado $$\widehat{x}[n|n-1]$$ utilizando la nueva medición $$y[n]$$:

  $$\widehat{x}\left[n|n\right]=\widehat{x}\left[n|n-1\right]+M_x\left(y\left[n\right]-C\widehat{x}\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]\right)$$

  Del mismo modo, M_y calcula la estimación de salida actualizada:

  $$\widehat{y}\left[n|n\right]=C\widehat{x}\left[n|n-1\right]+Du\left[n\right]+M_y\left(y\left[n\right]-C\widehat{x}\left[n|n-1\right]-Du\left[n\right]\right)$$

  Cuando H = 0, $$M_y=C{M}_x$$, y la estimación de salida se simplifica como $$\widehat{y}\left[n|n\right]=C\widehat{x}\left[n|n\right]+Du\left[n\right]$$.

• Estimador con retardo: genera las estimaciones de salida $$\widehat{y}[n|n-1]$$ y las estimaciones de estado $$\widehat{x}[n|n-1]$$ utilizando solo las mediciones hasta y_v[n–1]. Este estimador tiene la ecuación de salida:

  $$\left[\begin{array}{c}\widehat{y}[n|n-1]\\ \widehat{x}[n|n-1]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}C\\ I\end{array}\right]\widehat{x}[n|n-1]+\left[\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u[n]\\ y[n]\end{array}\right]$$

  El estimador con retardo es más fácil de implementar dentro de los lazos de control.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

Bloques

• Kalman Filter

Temas

• Filtrado de Kalman
• LQG Design for the x-Axis

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