lqi

Control lineal cuadrático integral

Sintaxis

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N)


Descripción

lqi calcula una ley de control por feedback de estados óptima para el lazo de seguimiento que aparece en la siguiente figura.

Para una planta sys con las ecuaciones de espacio de estados (o su equivalente discreto):

$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

el control por feedback de estados presenta el formato

$$u=-K[x;x_i]$$

donde x_i es la salida del integrador. Esta ley de control garantiza que la salida y rastree el comando de referencia r. Para sistemas MIMO, el número de integradores equivale a la dimensión de la salida y.

[K,S,e] = lqi(SYS,Q,R,N) calcula la matriz de ganancias óptimas K, a partir de un modelo de espacio de estados determinado SYS para la planta y las matrices de ponderación Q, R, N. La ley de control u = –Kz = –K[x;x_i] minimiza las siguientes funciones de coste (para r = 0)

• $$J(u)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}dt}$$ para tiempo continuo

• $$J(u)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\{z^{T}Qz+u^{T}Ru+2z^{T}Nu\}}$$ para tiempo discreto

En el tiempo discreto, lqi calcula la salida del integrador x_i usando la fórmula de Euler

$$x_i[n+1]=x_i[n]+Ts(r[n]-y[n])$$

donde Ts es el tiempo de muestreo de SYS.

Al omitir la matriz N, N se define en 0. lqi también devuelve la solución S de la ecuación algebraica de Riccati asociada y los valores propios de lazo cerrado e.

Limitaciones

Para el siguiente sistema de espacio de estados con una planta con integrador aumentado:

$$\begin{array}{l}\frac{\delta z}{\delta t}=A_{a}z+B_{a}u\\ y=C_{a}z+D_{a}u\end{array}$$

Los datos del problema deben cumplir lo siguiente:

• El par (A,B) debe ser estabilizable.

• R debe ser definido positivo.

• $$\left[\begin{array}{cc}Q& N\\ N^T& R\end{array}\right]$$ debe ser semidefinido positivo (de manera equivalente, $$Q-N{R}^{-1}{N}^T\ge 0$$).

• $$\left(Q-N{R}^{-1}{N}^T,A_a-B_a{R}^{-1}{N}^T\right)$$ no debe tener ningún modo no observable en el eje imaginario (o círculo unitario en tiempo discreto).

Sugerencias

lqi soporta los modelos de descriptores con E no singular. La salida S de lqi es la solución de la ecuación de Riccati para el modelo de espacio de estados explícito equivalente

$$\frac{dx}{dt}=E^{-1}Ax+E^{-1}Bu$$

Referencias

[1] P. C. Young and J. C. Willems, "An approach to the linear multivariable servomechanism problem", International Journal of Control, Volume 15, Issue 5, May 1972 , pages 961–979.

Historial de versiones

Introducido en R2008b

Consulte también

lqr | lqgreg | lqgtrack | lqg | care | dare