svd

Descomposición en valores singulares

Sintaxis

S = svd(A)

[U,S,V] = svd(A)

[___] = svd(A,"econ")

[___] = svd(A,0)

[___] = svd(___,outputForm)

Descripción

S = svd(A) devuelve los valores singulares de la matriz A en orden descendente.

[U,S,V] = svd(A) realiza una descomposición en valores singulares de la matriz A, de forma que A = U*S*V'.

[___] = svd(A,"econ") produce una descomposición de tamaño parcial de A utilizando cualquiera de las combinaciones de argumentos de salida anteriores. Si A es una matriz de m por n:

• m > n: solo se calculan las primeras n columnas de U, y S es de n por n.

• m = n: svd(A,"econ") equivale a svd(A).

• m < n: solo se calculan las primeras m columnas de V, y S es de m por m.

La descomposición de tamaño parcial elimina las filas o columnas adicionales de ceros de la matriz diagonal de valores singulares, S, junto con las columnas en U o V que multiplican esos ceros en la expresión A = U*S*V'. La eliminación de estos ceros y columnas puede mejorar el tiempo de ejecución y reducir los requisitos de almacenamiento sin comprometer la precisión de la descomposición.

[___] = svd(A,0) produce una descomposición diferente de tamaño parcial de la matriz de m por n A:

• m > n: svd(A,0) equivale a svd(A,"econ").

• m <= n: svd(A,0) equivale a svd(A).

No se recomienda el uso de esta sintaxis. Utilice la opción "econ" en su lugar.

[___] = svd(___,outputForm) especifica de forma opcional el formato de salida de los valores singulares. Puede utilizar esta opción con cualquiera de las combinaciones de argumentos de entrada o salida anteriores. Especifique "vector" para devolver los valores singulares como un vector columna, o "matrix" para devolver los valores singulares en una matriz diagonal.

Ejemplos

Valores singulares de una matriz

Calcule los valores singulares de una matriz de rango completo.

A = [1 0 1; -1 -2 0; 0 1 -1]

A = 3×3

     1     0     1
    -1    -2     0
     0     1    -1

s = svd(A)

s = 3×1

    2.4605
    1.6996
    0.2391

Descomposición en valores singulares

Encuentre la descomposición en valores singulares de una matriz rectangular A.

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

A = 4×2

     1     2
     3     4
     5     6
     7     8

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

Confirme la relación A = U*S*V', dentro de la precisión de la máquina.

U*S*V'

ans = 4×2

    1.0000    2.0000
    3.0000    4.0000
    5.0000    6.0000
    7.0000    8.0000

Descomposición de tamaño parcial

Calcule la descomposición completa y la parcial de una matriz rectangular.

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

A = 4×2

     1     2
     3     4
     5     6
     7     8

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

[U,S,V] = svd(A,"econ")

U = 4×2

   -0.1525   -0.8226
   -0.3499   -0.4214
   -0.5474   -0.0201
   -0.7448    0.3812

S = 2×2

   14.2691         0
         0    0.6268

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

Dado que A es de 4 por 2, svd(A,"econ") devuelve menos columnas en U y menos filas en S en comparación con una descomposición completa. Se excluyen las filas adicionales de ceros en S, junto con las columnas correspondientes en U que se multiplicarían con esos ceros en la expresión A = U*S*V'.

Controlar el formato de salida de los valores singulares

Cree una matriz del cuadrado mágico de 6 por 6 y calcule la SVD. De forma predeterminada, svd devuelve los valores singulares en una matriz diagonal cuando se especifican varias salidas.

A = magic(6);
[U,S,V] = svd(A)

U = 6×6

   -0.4082    0.5574    0.0456   -0.4182    0.3092    0.5000
   -0.4082   -0.2312    0.6301   -0.2571   -0.5627    0.0000
   -0.4082    0.4362    0.2696    0.5391    0.1725   -0.5000
   -0.4082   -0.3954   -0.2422   -0.4590    0.3971   -0.5000
   -0.4082    0.1496   -0.6849    0.0969   -0.5766    0.0000
   -0.4082   -0.5166   -0.0182    0.4983    0.2604    0.5000

S = 6×6

  111.0000         0         0         0         0         0
         0   50.6802         0         0         0         0
         0         0   34.3839         0         0         0
         0         0         0   10.1449         0         0
         0         0         0         0    5.5985         0
         0         0         0         0         0    0.0000

V = 6×6

   -0.4082    0.6234   -0.3116    0.2495    0.2511    0.4714
   -0.4082   -0.6282    0.3425    0.1753    0.2617    0.4714
   -0.4082   -0.4014   -0.7732   -0.0621   -0.1225   -0.2357
   -0.4082    0.1498    0.2262   -0.4510    0.5780   -0.4714
   -0.4082    0.1163    0.2996    0.6340   -0.3255   -0.4714
   -0.4082    0.1401    0.2166   -0.5457   -0.6430    0.2357

Especifique la opción "vector" para devolver los valores singulares en un vector columna.

[U,S,V] = svd(A,"vector")

U = 6×6

   -0.4082    0.5574    0.0456   -0.4182    0.3092    0.5000
   -0.4082   -0.2312    0.6301   -0.2571   -0.5627    0.0000
   -0.4082    0.4362    0.2696    0.5391    0.1725   -0.5000
   -0.4082   -0.3954   -0.2422   -0.4590    0.3971   -0.5000
   -0.4082    0.1496   -0.6849    0.0969   -0.5766    0.0000
   -0.4082   -0.5166   -0.0182    0.4983    0.2604    0.5000

S = 6×1

  111.0000
   50.6802
   34.3839
   10.1449
    5.5985
    0.0000

V = 6×6

   -0.4082    0.6234   -0.3116    0.2495    0.2511    0.4714
   -0.4082   -0.6282    0.3425    0.1753    0.2617    0.4714
   -0.4082   -0.4014   -0.7732   -0.0621   -0.1225   -0.2357
   -0.4082    0.1498    0.2262   -0.4510    0.5780   -0.4714
   -0.4082    0.1163    0.2996    0.6340   -0.3255   -0.4714
   -0.4082    0.1401    0.2166   -0.5457   -0.6430    0.2357

Si especifica un argumento de salida, como S = svd(A), svd cambia de comportamiento para devolver los valores singulares en un vector columna de forma predeterminada. En ese caso, puede especificar la opción "matrix" para devolver los valores singulares como una matriz diagonal.

Rango, espacio de columnas y espacio nulo de una matriz

Utilice los resultados de la descomposición en valores singulares para determinar el rango, el espacio de columnas y el espacio nulo de una matriz.

A = [2 0 2; 0 1 0; 0 0 0]

A = 3×3

     2     0     2
     0     1     0
     0     0     0

[U,S,V] = svd(A)

U = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

S = 3×3

    2.8284         0         0
         0    1.0000         0
         0         0         0

V = 3×3

    0.7071         0    0.7071
         0    1.0000         0
    0.7071         0   -0.7071

Calcule el rango utilizando el número de valores singulares distintos de cero.

s = diag(S);
rank_A = nnz(s)

rank_A = 
2

Calcule una base ortonormal para el espacio de columnas de A utilizando las columnas de U que correspondan a valores singulares distintos de cero.

column_basis = U(:,logical(s))

column_basis = 3×2

     1     0
     0     1
     0     0

Calcule una base ortonormal para el espacio nulo de A utilizando las columnas de V que correspondan a valores singulares iguales a cero.

null_basis = V(:,~s)

null_basis = 3×1

    0.7071
         0
   -0.7071

Las funciones rank, orth y null permiten calcular fácilmente estas cantidades.

Argumentos de entrada

A — Matriz de entrada

matriz

Matriz de entrada. A puede tener un tamaño cuadrado o rectangular.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

outputForm — Formato de salida de los valores singulares

"vector" | "matrix"

Formato de salida de los valores singulares, especificado como uno de estos valores:

• "vector": S es un vector columna. Este es el comportamiento predeterminado cuando se especifica una salida, S = svd(X).

• "matrix": S es una matriz diagonal. Este es el comportamiento predeterminado cuando se especifican varias salidas, [U,S,V] = svd(X).

Ejemplo: [U,S,V] = svd(X,"vector") devuelve S como un vector columna en lugar de una matriz diagonal.

Ejemplo: S = svd(X,"matrix") devuelve S como una matriz diagonal en lugar de un vector columna.

Tipos de datos: char | string

Argumentos de salida

U — Vectores singulares izquierdos

matriz

Vectores singulares izquierdos, devueltos como columnas de una matriz.

• Para una matriz de m por n A con m > n, la descomposición de tamaño parcial svd(A,"econ") calcula solo las primeras n columnas de U. En este caso, las columnas de U son ortogonales y U es una matriz de m por n que cumple $$U^{H}U=I_n$$.

• Para descomposiciones completas, svd(A) devuelve U como una matriz unitaria de m por m que cumple $$U{U}^H=U^{H}U=I_m$$. Las columnas de U que corresponden a valores singulares distintos de cero forman un conjunto de vectores de base ortonormal para el rango de A.

Distintas máquinas y versiones de MATLAB^® pueden producir diferentes vectores singulares que siguen siendo numéricamente precisos. Las columnas correspondientes en U y V pueden invertir sus signos, ya que esto no afecta al valor de la expresión A = U*S*V'.

S — Valores singulares

matriz diagonal | vector columna

Valores singulares, devueltos como una matriz diagonal o un vector columna. Los valores singulares no son negativos y se devuelven en orden decreciente.

Si A es una matriz de m por n y S es una matriz diagonal, el tamaño de S es el siguiente:

• La descomposición svd(A,"econ") de tamaño parcial devuelve S como una matriz cuadrada de orden min([m,n]).

• Para descomposiciones completas, svd(A) devuelve S con el mismo tamaño que A.

Además, los valores singulares de S se devuelven en un vector columna o una matriz diagonal dependiendo de cómo llame a svd y de si especifica la opción outputForm:

• Si llama a svd con una salida o especifica la opción "vector", S es un vector columna.

• Si llama a svd con varias salidas o especifica la opción "matrix", S es una matriz diagonal.

Dependiendo de si especifica una o varias salidas, svd puede devolver diferentes valores singulares que siguen siendo numéricamente precisos.

V — Vectores singulares derechos

matriz

Vectores singulares derechos, devueltos como columnas de una matriz.

• Para una matriz de m por n A con m < n, la descomposición parcial svd(A,"econ") calcula solo las primeras m columnas de V. En este caso, las columnas de V son ortogonales y V es una matriz de n por m que cumple $$V^{H}V=I_m$$.

• Para descomposiciones completas, svd(A) devuelve V como una matriz unitaria de n por n que cumple $$V{V}^H=V^{H}V=I_n$$. Las columnas de V que no corresponden a valores singulares distintos de cero forman un conjunto de vectores de base ortonormal para el espacio nulo de A.

Distintas máquinas y versiones de MATLAB pueden producir diferentes vectores singulares que siguen siendo numéricamente precisos. Las columnas correspondientes en U y V pueden invertir sus signos, ya que esto no afecta al valor de la expresión A = U*S*V'.

Capacidades ampliadas

Arreglos altos

Realice cálculos con arreglos que tienen más filas de las que caben en la memoria.

La función svd es compatible con arreglos altos con las siguientes notas y limitaciones de uso:

• La sintaxis de tres salidas [U,S,V] = svd(X) no es compatible. Para tres salidas, debe especificar svd(X,"econ"), y puede especificar opcionalmente las opciones "vector" o "matrix".

• Con una salida s = svd(X,...), los valores singulares deben devolverse como un vector a menos que se especifique "econ".

Para obtener más información, consulte Arreglos altos.

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• La generación de código utiliza una implementación de SVD diferente a la que usa MATLAB. Como la descomposición del valor singular no es única, los vectores singulares izquierdo y derecho pueden diferir de los que calcula MATLAB.

• La generación de código no es compatible con entradas de matrices dispersas en esta función.

Generación de código de GPU

Genere código CUDA® para GPU NVIDIA® mediante GPU Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• La generación de código utiliza una implementación de SVD diferente a la que usa MATLAB. Como la descomposición del valor singular no es única, los vectores singulares izquierdo y derecho pueden diferir de los que calcula MATLAB.

• Cuando la matriz de entrada contiene un valor no finito, el código generado no emite un error. En vez de eso, la salida contiene valores NaN.

• La generación de código no es compatible con entradas de matrices dispersas en esta función.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en entornos basados en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

La función svd es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para ejecutar la función en una GPU, especifique los datos de entrada como un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Notas y limitaciones de uso:

• Si la matriz de entrada A es rectangular, deberá especificar la descomposición de tamaño parcial con la opción "econ".

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2022b: La sintaxis "0" no está recomendada para descomposiciones de tamaño parcial

La sintaxis [___] = svd(A,0) seguirá siendo compatible, pero ya no se recomienda. Utilice la opción "econ" para realizar descomposiciones de tamaño parcial.

R2021b: Especificar el formato de salida

Especifique outputForm como "vector" o "matrix" para controlar si svd devuelve los argumentos de salida como vectores o matrices. Para descomposiciones de gran tamaño, devolver las salidas como vectores puede ahorrar memoria y mejorar la eficiencia.

R2021b: svd devuelve NaN para entradas con valores no finitos

svd devuelve valores NaN cuando la entrada contiene valores no finitos (Inf o NaN). Anteriormente, svd daba error cuando la entrada contenía valores no finitos.

Consulte también

svds | svdsketch | pagesvd | svdappend | rank | orth | null | gsvd

Temas

• Valores singulares