inv

Inversa de una matriz

Sintaxis

Y = inv(X)

Descripción

Y = inv(X) calcula la inversa de la matriz cuadrada X.

• X^(-1) equivale a inv(X).

• x = A\b se calcula de forma diferente a x = inv(A)*b y se recomienda para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplos

Matriz inversa

Calcule la inversa de una matriz de 3 por 3.

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]

X = 3×3

     1     0     2
    -1     5     0
     0     3    -9

Y = inv(X)

Y = 3×3

    0.8824   -0.1176    0.1961
    0.1765    0.1765    0.0392
    0.0588    0.0588   -0.0980

Compruebe los resultados. En teoría, Y*X produce la matriz identidad. Dado que inv realiza la inversión de la matriz con cálculos de coma flotante, en la práctica Y*X se aproxima, aunque no es exactamente igual, a la matriz identidad eye(size(X)).

Y*X

ans = 3×3

    1.0000    0.0000   -0.0000
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000

Resolver un sistema lineal

Examine por qué resolver un sistema lineal invirtiendo la matriz con inv(A)*b ofrece peores resultados que resolverlo directamente con el operador de barra invertida, x = A\b.

Cree una matriz aleatoria A de orden 500 construida de forma que su número de condición, cond(A), sea 1e10 y su norma, norm(A), sea 1. La solución exacta x es un vector aleatorio de longitud 500 y el lado derecho es b = A*x. De esta manera, el sistema de ecuaciones lineales está mal condicionado, pero es coherente.

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

Resuelva el sistema lineal A*x = b invirtiendo la matriz de coeficientes A. Utilice tic y toc para obtener información sobre el tiempo.

tic
y = inv(A)*b; 
t = toc

t = 
0.0216

Encuentre el error absoluto y residual del cálculo.

err_inv = norm(y-x)

err_inv = 
4.8457e-06

res_inv = norm(A*y-b)

res_inv = 
4.8952e-07

Ahora, resuelva el mismo sistema lineal con el operador de barra invertida \.

tic
z = A\b;
t1 = toc

t1 = 
0.0056

err_bs = norm(z-x)

err_bs = 
3.7705e-06

res_bs = norm(A*z-b)

res_bs = 
3.7080e-15

El cálculo con la barra invertida es más rápido y ofrece un error residual muchísimo menor. El hecho de que err_inv y err_bs estén ambos en el orden de 1e-6 simplemente refleja el número de condición de la matriz.

El comportamiento de este ejemplo es típico. El uso de A\b en lugar de inv(A)*b es entre dos y tres veces más rápido y produce valores residuales que se aproximan a la precisión de la máquina en relación con la magnitud de los datos.

Argumentos de entrada

X — Matriz de entrada

matriz cuadrada

Matriz de entrada, especificada como matriz cuadrada. Si X se escala incorrectamente o es casi singular, el cálculo de inv pierde precisión numérica. Utilice rcond o cond para comprobar el número de condición de la matriz.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

Más acerca de

Inversa de la matriz

Una matriz X se puede invertir si existe una matriz Y del mismo tamaño tal que $$XY=YX=I_n$$, donde $$I_n$$ es la matriz identidad de n por n. La matriz Y se denomina la inversa de X.

Una matriz sin inversa es singular. Una matriz cuadrada es singular solo cuando su determinante es exactamente cero.

Sugerencias

• Rara vez es necesario formar la inversa explícita de una matriz. A la hora de resolver el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, con frecuencia se utiliza erróneamente la función inv. Una forma de resolver la ecuación es con x = inv(A)*b. Una forma mejor, tanto desde el punto de vista del tiempo de ejecución como de la precisión numérica, es utilizar el operador de barra invertida de la matriz x = A\b. Esto produce la solución mediante eliminación gaussiana, sin formar explícitamente la inversa. Consulte mldivide para obtener más información.

Algoritmos

inv realiza una descomposición LU de la matriz de entrada (o una descomposición LDL si la matriz de entrada es hermítica). Después, utiliza los resultados para formar un sistema lineal cuya solución es la inversa de la matriz inv(X). Para los valores de entrada dispersos, inv(X) crea una matriz identidad dispersa y utiliza la barra invertida, X\speye(size(X)).

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Los valores de entrada de matrices singulares pueden producir valores no finitos que difieran de los resultados de MATLAB^®.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en un entorno basado en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

• X debe ser un valor no disperso.

• La función inv de MATLAB emite una advertencia si X se escala incorrectamente o es casi singular. La inv de gpuArray no puede comprobar esta condición. Tome medidas para evitar esta condición.

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos distribuidos. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2022a: Rendimiento mejorado al invertir matrices triangulares grandes

La función inv muestra un rendimiento mejorado al operar en matrices triangulares grandes.

Por ejemplo, invertir una matriz triangular superior de 5.000 por 5.000 es aproximadamente 3,7 veces más rápido que en versiones anteriores.

function timingInv
rng default
A = randn(5e3);
[~,R] = lu(A);

tic
Y = inv(R); 
toc
end

Los tiempos de ejecución aproximados son:

Versión R2021b: 1,1 s

Versión R2022a: 0,3 s

El código se cronometró en un sistema de prueba Windows^® 10, Intel^® Xeon^® CPU W-2133 @ 3.60 GHz llamando a la función timingInv.

Consulte también

det | lu | rref | mldivide