trapz

Integración numérica trapezoidal

Sintaxis

Q = trapz(Y)

Q = trapz(X,Y)

Q = trapz(___,dim)

Descripción

Q = trapz(Y) calcula la integral aproximada de Y mediante el método trapezoidal con separación unitaria. El tamaño de Y determina la dimensión en la que integrar:

• Si Y es un vector, trapz(Y) es la integral aproximada de Y.

• Si Y es una matriz, trapz(Y) integra cada columna y devuelve un vector fila de valores de integración.

• Si Y es un arreglo multidimensional, trapz(Y) integra la primera dimensión cuyo tamaño no es igual a 1. El tamaño de esta dimensión se convierte en 1 y los tamaños de las demás dimensiones no cambian.

Q = trapz(X,Y) integra Y respecto a las coordenadas o la separación escalar especificada por X.

• Si X es un vector de coordenadas, length(X) debe ser igual al tamaño de la primera dimensión de Y cuyo tamaño no es igual a 1.

• Si X es una separación escalar, trapz(X,Y) equivale a X*trapz(Y).

Q = trapz(___,dim) integra en la dimensión dim mediante cualquiera de las sintaxis anteriores. Debe especificar Y y, de manera opcional, puede especificar X. Si especifica X, puede ser un escalar o un vector con una longitud igual a size(Y,dim). Por ejemplo, si Y es una matriz, trapz(X,Y,2) integra cada fila de Y.

Ejemplos

Integrar un vector de datos con separación unitaria

Calcule la integral de un vector en el que la separación entre los puntos de datos es 1.

Cree un vector numérico de datos.

Y = [1 4 9 16 25];

Y contiene valores de función para $$f(x)=x^2$$ en el dominio [1, 5].

Utilice trapz para integrar los datos con separación unitaria.

Q = trapz(Y)

Q = 42

Esta integración aproximada produce un valor de 42. En este caso, la respuesta exacta es un poco inferior: $$41\frac{1}{3}$$. La función trapz sobreestima el valor de la integral porque f(x) es cóncava hacia arriba.

Integrar un vector de datos con separación no unitaria

Calcule la integral de un vector en el que la separación entre los puntos es uniforme, pero no es igual a 1.

Cree un vector dominio.

X = 0:pi/100:pi;

Calcule el seno de X.

Y = sin(X);

Integre Y mediante trapz.

Q = trapz(X,Y)

Q = 1.9998

Cuando la separación entre puntos es constante, pero no igual a 1, una alternativa a crear un vector para X es especificar el valor de separación escalar. En ese caso, trapz(pi/100,Y) es igual que pi/100*trapz(Y).

Integrar matrices con separación no uniforme

Integre las filas de una matriz en la que los datos tengan una separación no uniforme.

Cree un vector de coordenadas x y una matriz de observaciones que tienen lugar en intervalos irregulares. Las filas de Y representan los datos de velocidad, tomados en tiempos incluidos en X, para tres pruebas diferentes.

X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2   7.7   9.6   13.2;
     4.8   7.0  10.5   14.5;
     4.9   6.5  10.2   13.8];

Utilice trapz para integrar cada fila de forma independiente y hallar la distancia total recorrida en cada prueba. Dado que los datos no se evalúan en intervalos constantes, especifique X para indicar la separación entre puntos de datos. Especifique dim = 2, ya que los datos se encuentran en las filas de Y.

Q1 = trapz(X,Y,2)

Q1 = 3×1

   82.8000
   85.7250
   82.1250

El resultado es un vector columna de valores de integración, uno para cada fila en Y.

Múltiples integraciones numéricas

Cree una cuadrícula de valores dominio.

x = -3:.1:3; 
y = -5:.1:5; 
[X,Y] = meshgrid(x,y);

Calcule la función $$f(x,y)=x^2+y^2$$ en la cuadrícula.

F = X.^2 + Y.^2;

trapz integra datos numéricos en lugar de expresiones funcionales, así que, en general, no es necesario conocer la expresión para usar trapz en una matriz de datos. En los casos en los que se conoce la expresión funcional, se puede utilizar integral, integral2 o integral3 en su lugar.

Utilice trapz para aproximar la integral doble

$$I={\int }_{-5}^5{\int }_{-3}^3(x^2+y^2)dxdy$$

Para realizar integraciones dobles o triples en un arreglo de datos numéricos, la función anidada llama a trapz.

I = trapz(y,trapz(x,F,2))

I = 680.2000

trapz realiza la integración en x en primer lugar, lo que produce un vector columna. Luego, la integración en y reduce el vector columna a un único escalar. trapz sobreestima ligeramente la respuesta exacta de 680 porque f(x,y) es cóncava hacia arriba.

Argumentos de entrada

Y — Datos numéricos

vector | matriz | arreglo multidimensional

Datos numéricos, especificados como vector, matriz o arreglo multidimensional. De forma predeterminada, trapz integra en la primera dimensión de Y cuyo tamaño no es igual a 1.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

X — Separación de puntos

1 (predeterminado) | separación escalar uniforme | vector de coordenadas

Separación de puntos, especificada como 1 (predeterminado), una separación escalar uniforme o un vector de coordenadas.

• Si X es un escalar, especifica una separación uniforme entre los puntos de datos y trapz(X,Y) equivale a X*trapz(Y).

• Si X es un vector, especifica las coordenadas de x para los puntos de datos y length(X) debe ser igual al tamaño de la dimensión de integración en Y.

Tipos de datos: single | double

dim — Dimensión en la que operar

escalar entero positivo

Dimensión en la que operar, especificada como escalar entero positivo. Si no especifica la dimensión, el valor predeterminado es la primera dimensión del arreglo de tamaño mayor que 1.

Considere un arreglo de entrada bidimensional, Y:

• trapz(Y,1) opera en elementos sucesivos de las columnas de Y y devuelve un vector fila.

  

• trapz(Y,2) opera en elementos sucesivos de las filas de Y y devuelve un vector columna.

  

Si dim es mayor que ndims(Y), trapz devuelve un arreglo de ceros del mismo tamaño que Y.

Más acerca de

Método trapezoidal

trapz realiza una integración numérica mediante el método trapezoidal. Este método aproxima la integración en un intervalo dividiendo el área en trapezoides con áreas más sencillas de calcular. Por ejemplo, esta es una integración trapezoidal de la función seno con ocho trapezoides equidistantes:

Para una integración con N+1 puntos equidistantes, la aproximación es

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx }\frac{b-a}{2N}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right)}\\ =\frac{b-a}{2N}\left[f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+\mathrm{...}+2f\left(x_N\right)+f\left(x_{N+1}\right)\right],\end{array}$$

donde la separación entre cada punto es igual al valor escalar $$\frac{b-a}{N}$$. De forma predeterminada, MATLAB^® utiliza una separación de 1.

Si la separación entre los puntos N+1 no es constante, la fórmula se generaliza a

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^N\left(x_{n+1}-x_n\right)}}\left[f\left(x_n\right)+f\left(x_{n+1}\right)\right],$$

donde $$a=x_1<x_2<\mathrm{...}<x_N<x_{N+1}=b$$ y $$\left(x_{n+1}-x_n\right)$$ es la separación entre cada par de puntos consecutivo.

Sugerencias

• Utilice trapz y cumtrapz para realizar integraciones numéricas en conjuntos de datos discretos. Utilice integral, integral2 o integral3 si hay disponible una expresión funcional para los datos.

• trapz reduce el tamaño de la dimensión en la que opera a 1 y devuelve solo el valor de integración final. cumtrapz también devuelve valores de integración intermedios, preservando el tamaño de la dimensión en la que opera.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Si proporciona dim, debe ser una constante.

• Consulte Variable-Sizing Restrictions for Code Generation of Toolbox Functions (MATLAB Coder).

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en un entorno basado en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos distribuidos. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

cumsum | cumtrapz | integral | integral2 | integral3

Temas

• Integración de datos numéricos