La traducción de esta página aún no se ha actualizado a la versión más reciente. Haga clic aquí para ver la última versión en inglés.

Ecuaciones de cinemática para robots móviles

Obtenga información sobre las ecuaciones de cinemática para robots móviles, incluidos los modelos de monociclo, bicicleta, tracción diferencial y Ackermann. En este tema se cubren las variables y ecuaciones específicas de cada modelo de movimiento [1]. Para ver un ejemplo que simule los distintos robots móviles con estos modelos, consulte Simular diferentes modelos cinemáticos para robots móviles.

Visión general de variables

El estado del robot se representa como un vector de tres elementos: [$$x$$ $$y$$ $$\theta$$].

Para un estado de robot dado:

• $$x$$: posición x global del vehículo en metros

• $$y$$: posición y global del vehículo en metros

• $$\theta$$: dirección global del vehículo en radianes

En la cinemática de Ackermann, el estado también incluye el ángulo de giro:

• $$\psi$$: ángulo de giro del vehículo en radianes

Los modelos de monociclo, bicicleta y tracción diferencial comparten una entrada de control generalizada, que acepta lo siguiente:

• $$v$$: velocidad del vehículo en metros/segundo

• $$\omega$$: velocidad angular del vehículo en radianes/segundo

Otras variables que se representan en las ecuaciones de cinemática son:

• $$r$$: radio de las ruedas en metros

• $$\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}$$: velocidad de las ruedas en radianes/segundo

• $$d$$: ancho de vía en metros

• $$l$$: distancia entre ejes en metros

• $$\psi$$: ángulo de giro del vehículo en radianes

Cinemática de monociclos

Las ecuaciones de cinemática de monociclo modelan una única rueda giratoria que rota en torno a un eje central mediante el objeto unicycleKinematics.

El estado del modelo de monociclo es [$$x$$ $$y$$ $$\theta$$].

Variables

• $$x$$: posición x global del vehículo en metros

• $$y$$: posición y global del vehículo en metros

• $$\theta$$: dirección global del vehículo en radianes

• $$\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}$$: velocidad de las ruedas en metros/segundo

• $$r$$: radio de las ruedas en metros

• $$v$$: velocidad del vehículo en metros/segundo

• $$\omega$$: velocidad angular de dirección del vehículo en radianes/segundo

Ecuaciones cinemáticas

En función del argumento nombre-valor VehicleInputs, puede introducir únicamente la velocidad de las ruedas o la velocidad del vehículo y la tasa de dirección. Este cambio en la entrada afecta a las ecuaciones.

Ecuación de la velocidad de las ruedas

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}r\cos (\theta )& 0\\ r\sin (\theta )& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}\\ \omega \end{array}\right]$$

Ecuación de la velocidad del vehículo y de la tasa de dirección (generalizada)

Cuando las entradas generalizadas se dan como la velocidad $$v=r\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}$$ y la velocidad angular de dirección del vehículo $$\omega$$, la ecuación se simplifica a:

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]$$

Cinemática de bicicleta

Las ecuaciones de cinemática de bicicleta modelan un vehículo similar a un automóvil que acepta el ángulo de giro delantero como una entrada de control mediante el objeto bicycleKinematics.

El estado del modelo de bicicleta es [$$x$$ $$y$$ $$\theta$$].

Variables

• $$x$$: posición x global del vehículo en metros

• $$y$$: posición y global del vehículo en metros

• $$\theta$$: dirección global del vehículo en radianes

• $$l$$: distancia entre ejes en metros

• $$\psi$$: ángulo de giro del vehículo en radianes

• $$v$$: velocidad del vehículo en metros/segundo

• $$\omega$$: velocidad angular de dirección del vehículo en radianes/segundo

Ecuaciones cinemáticas

En función del argumento nombre-valor VehicleInputs, puede introducir la velocidad del vehículo como el ángulo de giro o la tasa de dirección. Este cambio en la entrada afecta a las ecuaciones.

Ecuación del ángulo de giro

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& 0\\ sin(\theta )& 0\\ \frac{\tan (\psi )}{l}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]$$

Ecuación de la velocidad del vehículo y de la tasa de dirección (generalizada)

En este formato generalizado, la tasa de dirección $$\omega$$ puede estar relacionada con el ángulo de giro $$\psi$$ con la relación $$\omega =\frac{v}{l}\tan \psi$$. Luego, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) se simplifica a:

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]$$

Cinemática de tracción diferencial

Las ecuaciones de cinemática de tracción diferencial modelan un vehículo en el que las ruedas de la izquierda y derecha pueden girar de manera independiente usando el objeto differentialDriveKinematics.

El estado del modelo de tracción diferencial es [$$x$$ $$y$$ $$\theta$$].

Variables

• $$x$$: posición x global del vehículo en metros

• $$y$$: posición y global del vehículo en metros

• $$\theta$$: dirección global del vehículo en radianes

• $${\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_L$$: velocidad de la rueda izquierda en metros/segundo

• $${\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_R$$: velocidad de la rueda derecha en metros/segundo

• $$r$$: radio de las ruedas en metros

• $$d$$: ancho de vía en metros

• $$v$$: velocidad del vehículo en metros/segundo

• $$\omega$$: velocidad angular de dirección del vehículo en radianes/segundo

Ecuaciones cinemáticas

En función del argumento nombre-valor VehicleInputs, puede introducir la velocidad de las ruedas como el ángulo de giro o la tasa de dirección. Este cambio en la entrada afecta a las ecuaciones.

Ecuación de la velocidad de las ruedas

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{r}{2}\cos (\theta )& \frac{r}{2}\cos (\theta )\\ \frac{r}{2}\sin (\theta )& \frac{r}{2}\sin (\theta )\\ -r/2d& r/2d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_L\\ {\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_R\end{array}\right]$$

Ecuación de la velocidad del vehículo y de la tasa de dirección (generalizada)

En el formato generalizado, las entradas se dan como la velocidad $$v=\frac{r}{2}({\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_R+{\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_L)$$ y la velocidad angular de dirección del vehículo $$\omega =\frac{r}{2d}({\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_R-{\underset{}{\overset{\dot{}}{\varphi }}}_L)$$. La ecuación diferencial ordinaria (EDO) se simplifica a:

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]$$

Cinemática de Ackermann

Las ecuaciones de cinemática de Ackermann modelan un vehículo similar a un automóvil con un mecanismo de giro de Ackermann mediante el objeto ackermannKinematics. La ecuación ajusta la posición de los neumáticos del eje en función del ancho de vía de modo que los neumáticos sigan círculos concéntricos. En términos matemáticos, esto significa que la entrada debe ser la velocidad angular de dirección de giro $$\underset{}{\overset{\dot{}}{\psi }}$$ y no existe un formato generalizado.

El estado del modelo de tracción diferencial es [$$x$$ $$y$$ $$\theta$$$$\psi$$].

Variables

• $$x$$: posición x global del vehículo en metros

• $$y$$: posición y global del vehículo en metros

• $$\theta$$: dirección global del vehículo en radianes

• $$\psi$$: ángulo de giro del vehículo en radianes

• $$l$$: distancia entre ejes en metros

• $$v$$: velocidad del vehículo en metros/segundo

Ecuaciones cinemáticas

En el modelo cinemático de Ackermann, la EDO es:

$$\left[\begin{array}{c}\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{y}}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\theta }}\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\psi }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ \tan (\psi )/l& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v\\ \underset{}{\overset{\dot{}}{\psi }}\end{array}\right]$$

Referencias

[1] Lynch, Kevin M. y Frank C. Park. Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press, 2017.

Para ver un ejemplo que simule los distintos robots móviles con estos modelos, consulte Simular diferentes modelos cinemáticos para robots móviles.