ctrb

Controlabilidad del modelo de espacio de estados

Sintaxis

Co = ctrb(A,B)

Co = ctrb(sys)

Descripción

Un sistema dinámico se considera controlable si se pueden aplicar señales de control que accionen cuaquier estado del sistema dentro de una cantidad de tiempo finita. Esta característica también se denomina accesibilidad. ctrb calcula una matriz de controlabilidad a partir de matrices de estado o a partir de un modelo de espacio de estados. Puede utilizar esta matriz para determinar la controlabilidad.

Por ejemplo, considere un modelo de espacio de estados de tiempo continuo con Nx estados, Ny salidas y Nu entradas:

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

En este caso, x, u e y representan los estados, las entradas y las salidas, respectivamente, mientras que A, B, C y D son las matrices de espacio de estados con los siguientes tamaños:

• A es una matriz de Nx por Nx de valores reales o complejos.

• B es una matriz de Nx por Nu de valores reales o complejos.

• C es una matriz de Ny por Nx de valores reales o complejos.

• D es una matriz de Ny por Nu de valores reales o complejos.

El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad generada por ctrb $$Co=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \dots & A^{n-1}B\end{array}\right]$$ tiene un rango total, es decir, el rango es igual al número de estados del modelo de espacio de estados. La matriz de controlabilidad Co tiene Nx filas y Nxu columnas. Para ver un ejemplo, consulte Controlabilidad del modelo de espacio de estados SISO.

Co = ctrb(A,B) devuelve la matriz de controlabilidad Co mediante la matriz de estado A y la matriz de entrada a estado B. El sistema es controlable si Co tiene un rango total, es decir, el rango de Co es igual al número de estados.

Co = ctrb(sys) devuelve la matriz de controlabilidad del modelo de espacio de estados sys. Esta sintaxis equivale a:

Co = ctrb(sys.A,sys.B);

Ejemplos

Verificación de la controlabilidad del sistema

Defina las matrices A y B.

A = [1  1;
     4 -2];
B = [1 -1;
     1 -1];

Calcule la matriz de controlabilidad.

Co = ctrb(A,B);

Determine el número de estados no controlables.

unco = length(A) - rank(Co)

unco = 
1

El estado no controlable indica que Co no tiene un rango total 2. Por tanto, el sistema no es controlable.

Controlabilidad del modelo de espacio de estados SISO

Para este ejemplo, considere el siguiente modelo de espacio de estados SISO con dos estados:

$$A=\left[\begin{array}{cc}-1.5& -2\\ 1& 0\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]D=1$$

Cree el modelo de espacio de estados SISO definido por las siguientes matrices de espacio de estados:

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 1;
sys = ss(A,B,C,D);

Calcule la matriz de controlabilidad y encuentre el rango.

Co = ctrb(sys)

Co = 2×2

    0.5000   -0.7500
         0    0.5000

El tamaño de la matriz de controlabilidad depende del tamaño de las matrices A y B. Por ejemplo, si la matriz A es una matriz de Nx por Nx y la matriz B es una matriz de Nx por Nu, la matriz resultante Co tiene Nx filas y Nxu columnas. En este caso, Nx es el número de estados y Nu es el número de entradas.

rank(Co)

ans = 
2

Dado que el rango de la matriz de controlabilidad Co es igual al número de estados, el sistema sys es controlable.

De forma alternativa, también puede usar simplemente las matrices A y B para encontrar la matriz de controlabilidad.

Co = ctrb(sys.A,sys.B);
rank(Co)

ans = 
2

Argumentos de entrada

A — Matriz de estado

Matriz de Nx por Nx

Matriz de estado, especificada como una matriz de Nx por Nx, donde Nx es el número de estados.

B — Matriz de entrada a estado

Matriz de Nx por Nu

Matriz de entrada a estado, especificada como una matriz de Nx por Nu, donde Nx es el número de estados y Nu es el número de entradas.

sys — Modelo de espacio de estados o arreglo de modelos

Objeto de modelo ss | Objeto de modelo genss | Objeto de modelo uss

Modelo de espacio de estados o arreglo de modelos, especificado como:

• Un objeto de modelo de espacio de estados (ss) cuando las entradas A, B, C y D son matrices numéricas o cuando se convierte desde otro tipo de objeto de modelo.

• Un objeto de modelo de espacio de estados generalizado (genss) cuando una o varias de las matrices A, B, C y D incluyen parámetros ajustables, como parámetros realp o matrices generalizadas (genmat). La función utiliza los valores actuales para parámetros ajustables.

• Un objeto de modelo de espacio de estados con incertidumbre (uss) cuando una o varias de las entradas A, B, C y D incluyen matrices con incertidumbre. La función utiliza los valores nominales para parámetros con incertidumbre. El uso de modelos con incertidumbre requiere Robust Control Toolbox™.

Argumentos de salida

Co — Matriz de controlabilidad

arreglo

Matriz de controlabilidad, devuelta como un arreglo. Cuando sys es:

• Un único modelo de espacio de estados con Nx estados y Nu entradas, el arreglo resultante Co tiene Nx filas y Nxu columnas.

• Un arreglo de modelos de espacio de estados sys(:,:,j1,...,jN), Co es un arreglo con N+2 dimensiones, es decir, Co(:,:,j1,...,jN).

Referencias

[1] Paige, C. C. "Properties of Numerical Algorithms Related to Computing Controllability." IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 26, Number 1, 1981, pp. 130-138.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

ctrbf | obsv

Sitios web externos

• Vídeo: Un enfoque conceptual de la controlabilidad y la observabilidad