Métodos de interpolación

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La interpolación es un proceso para estimar valores que quedan entre puntos de datos conocidos.

La interpolación implica construir una función f cuyo valor sea el de unos valores de datos proporcionados y_i, en unos sitios de datos proporcionados x_i, de forma que f(x_i) = y_i, para todo i.

La interpolación f se construye normalmente como una función única de la forma

$f (x) = \sum_{j} f_{j} (x) a_{j},$

cuyos valores coinciden con los datos proporcionados, eligiendo las funciones f_j de forma "adecuada".

En la interpolación por splines, se elige la f_j para que sea las n interpolaciones B-spline consecutivas B_j(x) = B(x|t_j,...,t_j+k), j = 1:n, de orden k para alguna secuencia de nudos t₁ ≤ t₂ ≤ ... ≤ t_{n + k}.

Acerca de los métodos de interpolación

Método	Descripción
Lineal	Interpolación lineal. Este método ajusta un polinomio lineal distinto entre cada par de puntos de datos (en el caso de una curva) o entre conjuntos de tres puntos (en el caso de una superficie).
Vecino más cercano	Interpolación por el vecino más cercano. Este método establece el valor de un punto interpolado como el valor del punto de datos más cercano. Por lo tanto, este método no genera ningún punto de datos nuevo.
Splines cúbicos	Interpolación por splines cúbicos. Este método ajusta un polinomio cúbico distinto entre cada par de puntos de datos (en el caso de una curva) o entre conjuntos de tres puntos (en el caso de una superficie).
Que conserva la forma	Interpolación cúbica por tramos de Hermite (PCHIP, por su sigla en inglés). Este método conserva la monotonicidad y la forma de los datos. Solo para curvas.
Biarmónica (v. 4)	Método `griddata` de MATLAB^® 4. Solo para superficies.
Splines de thin-plate	Interpolación por splines de thin-plate. Este método ajusta superficies suaves que también dan buen resultado para extrapolar. Solo para superficies.

En el caso de superficies, el tipo de ajuste interpolación usa la función scatteredInterpolant de MATLAB para los métodos lineal y por el vecino más cercano, y la función griddata de MATLAB para los métodos cúbico y biarmónico. El método de los splines de thin-plate usa la función tpaps.

El tipo de interpolación que se debe usar depende de las características de los datos que se van a ajustar, la suavidad requerida para la curva, las consideraciones sobre rapidez, los requisitos de análisis posteriores al ajuste, etc. Los métodos lineal y por el vecino más cercano son rápidos, pero las curvas resultantes no son muy suaves. Los métodos por splines cúbicos, de conservación de la forma y biarmónico (v. 4) son más lentos, pero las curvas resultantes son muy suaves.

Por ejemplo, aquí se muestran los datos de una reacción nuclear del archivo carbon12alpha.mat con un ajuste de interpolación por el vecino más cercano y un ajuste de interpolación que conserva la forma (PCHIP). Es evidente que la interpolación por el vecino más cercano no sigue los datos igual que la interpolación que conserva la forma. La diferencia entre ambos ajustes puede ser muy importante si está interpolando. Sin embargo, si desea integrar los datos para hacerse una idea de la fuerza total de la reacción, ambos ajustes proporcionan un resultado casi idéntico cuando la anchura de los bins de integración es razonable.

Nota

No se definen valores estadísticos de bondad de ajuste, límites de predicción ni ponderaciones para las interpolaciones. Además, los valores residuales del ajuste son siempre cero (con precisión informática) ya que las interpolaciones pasan por los puntos de datos.

Las interpolaciones se definen como polinomios por tramos porque la curva ajustada se construye a partir de muchos tramos (excepto en el caso de la Biharmonic para superficies, al ser una interpolación mediante función de base radial). En el caso de las interpolaciones PCHIP y por splines cúbicos, cada tramo se describe mediante cuatro coeficientes, que la toolbox calcula usando un polinomio cúbico (es decir, de tercer grado).

Para obtener más información sobre la interpolación por splines cúbicos, consulte la función spline.
Para obtener más información sobre la interpolación que conserva la forma y ver una comparación entre ambos métodos, consulte la función pchip.
Para obtener más información sobre la interpolación de superficies, consulte las funciones scatteredInterpolant, griddata y tpaps.

Dado un conjunto de datos, es posible ajustar un único polinomio de interpolación "global" cuyo grado sea menor en una unidad al número de puntos de datos. Sin embargo, un ajuste así puede tener un comportamiento muy errático entre puntos de datos. En cambio, los polinomios por tramos descritos aquí siempre producen un ajuste con buen comportamiento, por lo que son más flexibles que los polinomios paramétricos y pueden usarse eficazmente en una gama más amplia de conjuntos de datos.

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