pchip

Polinomio de interpolación cúbica de Hermite por tramos (PCHIP)

Sintaxis

p = pchip(x,y,xq)

pp = pchip(x,y)

Descripción

p = pchip(x,y,xq) devuelve un vector de valores interpolados p que corresponden a los puntos de consulta en xq. Los valores de p están determinados por la interpolación cúbica por tramos que conserva la forma de x e y.

pp = pchip(x,y) devuelve una estructura polinómica por tramos para su uso con ppval y la utilidad de spline unmkpp.

Ejemplos

Interpolación de datos con spline, pchip y makima

Compare los resultados de la interpolación que han producido spline, pchip y makima para dos conjuntos de datos diferentes. Todas estas funciones realizan formas diferentes de interpolación cúbica de Hermite por tramos. Cada función difiere del resto en el modo en que calcula las pendientes de la interpolación, lo que resulta en diferentes comportamientos cuando los datos subyacentes contienen zonas planas u ondulaciones.

Compare los resultados de la interpolación en los datos de la muestra que conectan las zonas planas. Cree vectores de valores x, valores de función en esos puntos y, y puntos de consulta xq. Calcule las interpolaciones en los puntos de consulta utilizando spline, pchip y makima. Represente los valores de la función interpolada en los puntos de consulta para compararlos.

x = -3:3; 
y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; 
xq1 = -3:.01:3;
p = pchip(x,y,xq1);
s = spline(x,y,xq1);
m = makima(x,y,xq1);
plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.',xq1,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima','Location','SouthEast')

En este caso, pchip y makima presentan un comportamiento similar porque evitan los sobreimpulsos y pueden conectar las zonas planas con precisión.

Realice una segunda comparación utilizando una función de muestra oscilatoria.

x = 0:15;
y = besselj(1,x);
xq2 = 0:0.01:15;
p = pchip(x,y,xq2);
s = spline(x,y,xq2);
m = makima(x,y,xq2);
plot(x,y,'o',xq2,p,'-',xq2,s,'-.',xq2,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima')

Cuando la función subyacente es oscilatoria, spline y makima capturan el movimiento entre puntos mejor que pchip, que se aplana de forma pronunciada cerca de los extremos locales.

Interpolación con una estructura polinómica por tramos

Cree vectores para los valores x y los valores de función y y, luego, utilice pchip para construir una estructura polinómica por tramos.

x = -5:5;
y = [1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 2];
p = pchip(x,y);

Utilice la estructura con ppval para evaluar la interpolación en varios puntos de consulta. Represente los resultados.

xq = -5:0.2:5;
pp = ppval(p,xq);
plot(x,y,'o',xq,pp,'-.')
ylim([-0.2 2.2])

Argumentos de entrada

x — Puntos de muestra

vector

Puntos de muestra, especificados como vector. El vector x especifica los puntos en los que se dan los datos y. Los elementos de x deben ser únicos.

Tipos de datos: single | double

y — Valores de función en los puntos de muestra

vector | matriz | arreglo

Valores de función en los puntos de muestra, especificados como un vector, matriz o arreglo numérico. x e y deben tener la misma longitud.

Cuando y es una matriz o un arreglo, los valores de la última dimensión, y(:,...,:,j), se toman como valores que coinciden con x. En este caso, la última dimensión de y debe tener la misma longitud que x.

Tipos de datos: single | double

xq — Puntos de consulta

escalar | vector | matriz | arreglo

Puntos de consulta, especificados como escalar, vector, matriz o arreglo. Los puntos especificados en xq son las coordenadas x de los valores de la función interpolada yq calculados por pchip.

Tipos de datos: single | double

Argumentos de salida

p — Valores interpolados en puntos de consulta

escalar | vector | matriz | arreglo

Valores interpolados en puntos de consulta, devueltos como escalar, vector, matriz o arreglo. El tamaño de p está relacionado con los tamaños de y y xq:

• Cuando y es un vector, p tiene el mismo tamaño que xq.

• Cuando y es un arreglo de tamaño Ny = size(y), se aplican las condiciones siguientes:

  • Cuando xq es un escalar o un vector, size(p) devuelve [Ny(1:end-1) length(xq)].

  • Cuando xq es un arreglo, size(p) devuelve [Ny(1:end-1) size(xq).

pp — Polinomio por tramos

estructura

Polinomio por tramos, devuelto como una estructura. Utilice esta estructura con la función ppval para evaluar los polinomios de interpolación en uno o más puntos de consulta. Esta estructura contiene estos campos.

Campo	Descripción
form	'pp' para polinomio por tramos
breaks	Vector de longitud L+1 con elementos estrictamente crecientes que representan el inicio y el final de cada uno de los intervalos L
coefs	Matriz de L por k con cada fila coefs(i,:) que contiene los coeficientes locales de un polinomio de orden k en el i-ésimo intervalo, [breaks(i),breaks(i+1)]
pieces	Número de tramos, L
order	Orden de los polinomios
dim	Dimensionalidad del destino

Dado que los coeficientes del polinomio de coefs son coeficientes locales para cada intervalo, deberá restar el punto final más bajo del intervalo de nudos correspondiente para utilizar los coeficientes en una ecuación polinómica convencional. En otras palabras, para los coeficientes [a,b,c,d] del intervalo [x1,x2], el polinomio correspondiente es

$$f\left(x\right)=a{\left(x-x_1\right)}^3+b{\left(x-x_1\right)}^2+c\left(x-x_1\right)+d.$$

Más acerca de

Interpolación cúbica por tramos que conserva la forma

pchip interpola usando un polinomio cúbico por tramos $$P(x)$$ con estas propiedades:

• En cada subintervalo $$x_k\le x\le x_{k+1}$$, el polinomio $$P(x)$$ es un polinomio de interpolación cúbica de Hermite para los puntos de datos dados con derivadas (pendientes) especificadas en los puntos de interpolación.

• $$P(x)$$ interpola y, es decir, $$P(x_j)=y_j$$, y la primera derivada $$\frac{dP}{dx}$$ es continua. La segunda derivada $$\frac{d^{2}P}{d{x}^2}$$ probablemente no es continua, por lo que es posible que haya saltos en $$x_j$$.

• El interpolante cúbico $$P(x)$$ conserva la forma. Las pendientes en $$x_j$$ se eligen de tal forma que $$P(x)$$ conserva la forma de los datos y respeta la monotonicidad. Por lo tanto, en los intervalos en los que los datos son monotónicos, como $$P(x)$$, y en los puntos en los que los datos tienen un extremo local, como $$P(x)$$.

Nota

Si y es una matriz, $$P(x)$$ satisface estas propiedades para cada fila de y.

Sugerencias

• spline construye $$S(x)$$ de casi la misma forma que pchip construye $$P(x)$$. Sin embargo, spline elige las pendientes en $$x_j$$ de forma diferente, a saber, para hacer que $$S^{″}(x)$$ sea incluso continua. Esta diferencia tiene varios efectos:

  • spline produce un resultado más suave, de modo que $$S^{″}(x)$$ sea continua.

  • spline produce un resultado más preciso si los datos constan de valores de una función suavizada.

  • pchip no tiene sobreimpulsos y tiene menos oscilación si los datos no son suaves.

  • pchip es menos costosa de configurar.

  • Ambas son igual de costosas de evaluar.

Referencias

[1] Fritsch, F. N. and R. E. Carlson. "Monotone Piecewise Cubic Interpolation." SIAM Journal on Numerical Analysis. Vol. 17, 1980, pp.238–246.

[2] Kahaner, David, Cleve Moler, Stephen Nash. Numerical Methods and Software. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1988.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• La entrada x debe ser estrictamente creciente.

• La generación de código no elimina las entradas y con valores NaN.

• Si genera código para la sintaxis pp = pchip(x,y), no podrá introducir pp en la función ppval de MATLAB^®. Para crear una estructura pp de MATLAB a partir de una estructura pp creada por el generador de código:

  • Al generar código, utilice unmkpp para devolver los detalles del polinomio por tramos a MATLAB.

  • En MATLAB, utilice mkpp para crear la estructura pp.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en entornos basados en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

La función pchip es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para ejecutar la función en una GPU, especifique los datos de entrada como un gpuArray (Parallel Computing Toolbox). Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Notas y limitaciones de uso:

• La sintaxis pchip(x,y) no es compatible con arreglos distribuidos.

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

interp1 | spline | makima | ppval