¿Qué es la optimización global?
Óptimos locales frente a globales
La optimización es el proceso de encontrar el punto que minimiza una función. Más específicamente:
Un mínimo local de una función es un punto donde el valor de la función es menor o igual que el valor en puntos cercanos, pero posiblemente mayor que en un punto distante.
Un mínimo global es un punto donde el valor de la función es menor o igual al valor en todos los demás puntos factibles.
Generalmente, los solucionadores Optimization Toolbox™ encuentran un óptimo local. (Este óptimo local puede ser un óptimo global). Encuentran el óptimo en la cuenca de atracción del punto de partida. Para obtener más información, consulte Cuencas de atracción.
Por el contrario, los solucionadores Global Optimization Toolbox están diseñados para buscar en más de una cuenca de atracción. Buscan de diversas maneras:
GlobalSearchyMultiStartgeneran una serie de puntos de partida. Luego utilizan un solucionador local para encontrar los óptimos en las cuencas de atracción de los puntos de partida.gautiliza un conjunto de puntos de partida (llamado población) y genera iterativamente mejores puntos a partir de la población. Siempre que la población inicial cubra varias cuencas,gapuede examinar varias cuencas.particleswarm, al igual quega, utiliza un conjunto de puntos de partida.particleswarmpuede examinar varias cuencas a la vez debido a su población diversa.simulannealbndrealiza una búsqueda aleatoria. Generalmente,simulannealbndacepta un punto si es mejor que el punto anterior.simulannealbndocasionalmente acepta un punto peor, para llegar a una cuenca diferente.patternsearchanaliza una serie de puntos vecinos antes de aceptar uno de ellos. Si algunos puntos vecinos pertenecen a diferentes cuencas,patternsearchen esencia busca en varias cuencas a la vez.surrogateoptcomienza con un muestreo cuasialeatorio dentro de ciertos límites, buscando un valor de función objetivo pequeño.surrogateoptutiliza una función de mérito que, en parte, da preferencia a los puntos que están lejos de los puntos evaluados, lo que es un intento de alcanzar una solución global. Una vez que no puede mejorar el punto actual,surrogateoptse reinicia, lo que hace que vuelva a muestrear ampliamente dentro de los límites. Restablecer es otra forma en quesurrogateoptbusca una solución global.
Cuencas de atracción
Si una función objetivo f(x) es suave, el vector –∇f(x) señala en la dirección donde f(x) se reduce más rápido. La ecuación de descenso más pronunciado, en concreto,
produce una ruta x(t) que llega a un mínimo local a medida que t se hace grande. Generalmente, los valores iniciales x(0) que están cerca uno del otro dan lugar a trayectorias de descenso más pronunciadas que tienden al mismo punto mínimo. La cuenca de atracción para el descenso más pronunciado es el conjunto de valores iniciales que conducen al mismo mínimo local.
La siguiente figura muestra dos mínimos unidimensionales. La figura muestra diferentes cuencas de atracción con diferentes estilos de línea y muestra direcciones de descenso más pronunciado con flechas. En esta figura y en las siguientes, los puntos negros representan mínimos locales. Cada trayectoria de descenso más pronunciada, que empieza en un punto x(0), se dirige al punto negro de la cuenca que contiene x(0).
La siguiente figura muestra cómo las trayectorias de descenso más pronunciadas pueden ser más complicadas en más dimensiones.
La siguiente figura muestra caminos y cuencas de atracción aún más complicados.
Las restricciones pueden dividir una cuenca de atracción en varias partes. Por ejemplo, considere minimizar y sujeto a:
y ≥ |x|
y ≥ 5 – 4(x–2)2.
La figura muestra las dos cuencas de atracción con los puntos finales.
Las trayectorias de descenso más pronunciadas son líneas rectas que bajan a los límites de restricciones. Para los límites de restricciones, las trayectorias de descenso más pronunciadas bajan siguiendo los límites. El punto final es (0,0) o (11/4,11/4), dependiendo de si el valor x inicial está por encima o por debajo de 2.
