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norm

Normas de vectores y matrices

Sintaxis

n = norm(v)

n = norm(v,p)

n = norm(X)

n = norm(X,p)

n = norm(X,"fro")

Descripción

n = norm(v) devuelve la norma euclidiana del vector v. Esta norma también se llama norma 2, magnitud vectorial o longitud euclidiana.

n = norm(v,p) devuelve el vector generalizado norma p.

n = norm(X) devuelve la norma 2 o el valor singular máximo de la matriz X, que es aproximadamente max(svd(X)).

n = norm(X,p) devuelve la norma p de la matriz X, en la que p es 1, 2 o Inf:

• Si p = 1, n es la suma de columna absoluta máxima de la matriz.

• Si p = 2, n es aproximadamente max(svd(X)). Este valor equivale a norm(X).

• Si p = Inf, n es la suma de fila absoluta máxima de la matriz.

n = norm(X,"fro") devuelve la norma de Frobenius de la matriz o arreglo X.

Ejemplos

Magnitud vectorial

Cree un vector y calcule la magnitud.

v = [1 -2 3];
n = norm(v)

n = 3.7417

Norma 1 de vector

Calcule la norma 1 de un vector, que es la suma de las magnitudes de los elementos.

v = [-2 3 -1];
n = norm(v,1)

n = 6

Distancia euclidiana entre dos puntos

Calcule la distancia entre dos puntos como la norma de la diferencia entre los elementos del vector.

Cree dos vectores que representen las coordenadas (x,y) de dos puntos del plano euclidiano.

a = [0 3];
b = [-2 1];

Utilice norm para calcular la distancia entre los puntos.

d = norm(b-a)

d = 2.8284

Geométricamente, la distancia entre los puntos equivale a la magnitud del vector que se extiende de un punto a otro.

$$\begin{array}{l}a=0\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+3\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ b=-2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+1\underset{}{\overset{ˆ}{j}}\\ \\ \begin{array}{rl}{d}_{(a,b)}& =||b-a||\\ & =\sqrt{(-2-0{)}^2+(1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}\end{array}$$

Norma 2 de una matriz

Calcule la norma 2 de una matriz, que es el valor singular más grande.

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 4.7234

Norma de Frobenius de un arreglo ND

Calcule la norma de Frobenius de un arreglo 4D X, que es equivalente a la norma 2 del vector columna X(:).

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 7.1247

La norma de Frobenius también es útil para matrices dispersas porque norm(X,2) no es compatible con X disperso.

Argumentos de entrada

v — Vector de entrada

vector

Vector de entrada.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

X — Arreglo de entrada

matriz | arreglo

Arreglo de entrada, especificado como matriz o arreglo. En la mayoría de tipos de normas, X debe ser una matriz. No obstante, para cálculos de la norma de Frobenius, X puede ser un arreglo.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

p — Tipo de norma

2 (predeterminado) | escalar real positivo | Inf | -Inf

Tipo de norma, especificado como 2 (valor predeterminado), escalar real positivo, Inf o -Inf. Los valores válidos de p y lo que devuelven dependen de si la primera entrada de norm es una matriz o un vector, según se muestra en la tabla.

Nota

Esta tabla no refleja los algoritmos reales que se utilizan en los cálculos.

p	Matriz	Vector
1	max(sum(abs(X)))	sum(abs(v))
2	max(svd(X))	sum(abs(v).^2)^(1/2)
Escalar numérico positivo con valores reales	—	sum(abs(v).^p)^(1/p)
Inf	max(sum(abs(X')))	max(abs(v))
-Inf	—	min(abs(v))

Argumentos de salida

n — Valor de norma

escalar

Valor de norma, devuelto como escalar. La norma permite apreciar la magnitud de los elementos. Por convención:

• norm devuelve NaN si la entrada contiene valores NaN.

• La norma de una matriz vacía es cero.

Más acerca de

Norma euclidiana

La norma euclidiana (también llamada magnitud vectorial, longitud euclidiana o norma 2) de un vector v con N elementos queda definida por

$$\Vert v\Vert =\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^2}}.$$

Norma general de un vector

La definición general de la norma p de un vector v con N elementos es

$${\Vert v\Vert }_p={\left[{\displaystyle \sum _{k=1}^N{\left|v_k\right|}^p}\right]}^{1/p},$$

, donde p es cualquier valor real positivo, Inf o -Inf.

• Si p = 1, la norma 1 resultante es la suma de los valores absolutos de los elementos del vector.

• Si p = 2, la norma 2 resultante indica la magnitud vectorial o la longitud euclidiana del vector.

• Si p = Inf, entonces $${\Vert v\Vert }_{\infty }={\max }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

• Si p = -Inf, entonces $${\Vert v\Vert }_{-\infty }={\min }_i\left(\left|v\left(i\right)\right|\right)$$.

Suma de columnas absoluta máxima

La suma de columnas absoluta máxima de una matriz m por n X (con m,n >= 2) queda definida por

$${\Vert X\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Suma de filas absoluta máxima

La suma de filas absoluta máxima de una matriz m por n X (con m,n >= 2) queda definida por

$${\Vert X\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}\right).$$

Norma de Frobenius

La norma de Frobenius de una matriz m por n X (con m,n >= 2) queda definida por

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2}}}=\sqrt{\text{trace}\left(X^{†}X\right)}.$$

Esta definición también se aplica de forma natural a arreglos con más de dos dimensiones. Por ejemplo, si X es un arreglo ND de tamaño m por n por p por ... por q, la norma de Frobenius es

$${\Vert X\Vert }_F=\sqrt{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\displaystyle \sum _{k=1}^p\mathrm{...}{\displaystyle \sum _{w=1}^q{\left|a_{ijk\mathrm{...}w}\right|}^2}}}}}.$$

Sugerencias

• Utilice vecnorm para tratar una matriz o un arreglo como una colección de vectores y calcular la norma en una dimensión especificada. Por ejemplo, vecnorm puede calcular la norma de cada columna de una matriz.

Capacidades ampliadas

Arreglos altos

Realice cálculos con arreglos que tienen más filas de las que caben en la memoria.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos altos. Para obtener más información, consulte Arreglos altos.

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• La generación de código no es compatible con entradas de matrices dispersas en esta función.

Entorno basado en subprocesos

Ejecute código en segundo plano con MATLAB® backgroundPool o acelere código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Esta función es totalmente compatible con entornos basados en subprocesos. Para obtener más información, consulte Ejecutar funciones de MATLAB en un entorno basado en subprocesos.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Arreglos distribuidos

Realice particiones de arreglos grandes por toda la memoria combinada de su cluster mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos distribuidos. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2022a: La norma de Frobenius es compatible con arreglos ND

Los cálculos de norma de la forma norm(X,"fro") son compatibles con entradas de arreglo en ND.

Consulte también

vecnorm | pagenorm | normest | normalize | cond | hypot

Sitios web externos

• Álgebra lineal aplicado (Recursos didácticos de MathWorks)