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Distribución de valor extremo

Definición

La función de densidad de probabilidad para la distribución de valor extremo con parámetro de ubicación y parámetro de escala esµσ

y=f(x|μ,σ)=σ1exp(xμσ)exp(exp(xμσ))

Esta forma de la función de densidad de probabilidad es adecuada para modelar el valor mínimo. Para modelar el valor máximo, utilice el negativo de los valores originales.

Si tiene un con parámetros y, a continuación, log tiene una distribución de valor extremo con Parameters = log y = 1/.TLa distribución de WeibullabTµaσb

Fondo

Las distribuciones de valor extremo se utilizan a menudo para modelar el valor más pequeño o más grande entre un gran conjunto de valores aleatorios independientes y distribuidos idénticamente que representan mediciones u observaciones. La distribución del valor extremo es adecuada para modelar el valor más pequeño de una distribución cuyas colas decaen exponencialmente rápidamente, como la distribución normal. También puede modelar el valor más grande de una distribución, como las distribuciones normales o exponenciales, utilizando el negativo de los valores originales.

Por ejemplo, lo siguiente se ajusta a una distribución de valor extremo a valores mínimos tomados en 1000 conjuntos de 500 observaciones de una distribución normal.

rng default;  % For reproducibility xMinima = min(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMinima = evfit(xMinima); y = linspace(-5,-1.5,1001); histogram(xMinima,-4.75:.25:-1.75); p = evpdf(y,paramEstsMinima(1),paramEstsMinima(2)); line(y,.25*length(xMinima)*p,'color','r')

Lo siguiente se ajusta a una distribución de valor extremo a los valores máximos en cada conjunto de observaciones.

rng default;  % For reproducibility xMaxima = max(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMaxima = evfit(-xMaxima); y = linspace(1.5,5,1001); histogram(xMaxima,1.75:.25:4.75); p = evpdf(-y,paramEstsMaxima(1),paramEstsMaxima(2)); line(y,.25*length(xMaxima)*p,'color','r')

Aunque la distribución del valor extremo se utiliza más a menudo como un modelo para los valores extremos, también se puede utilizar como un modelo para otros tipos de datos continuos. Por ejemplo, las distribuciones de valor extremo están estrechamente relacionadas con la distribución de Weibull. Si tiene una distribución de Weibull, entonces tiene una distribución de valor extremo tipo 1.Tlog(T)

Parámetros

La función devuelve las estimaciones de máxima verosimilitud (MLEs) y los intervalos de confianza para los parámetros de la distribución del valor extremo.evfit En el ejemplo siguiente se muestra cómo ajustar algunos datos de ejemplo utilizando, incluidas las estimaciones de la media y la varianza de la distribución ajustada.evfit

Supongamos que desea modelar el tamaño de la arandela más pequeña en cada lote de 1000 desde un proceso de fabricación. Si cree que los tamaños son independientes dentro y entre cada lote, puede ajustar una distribución de valor extremo a las mediciones del diámetro mínimo de una serie de ocho lotes experimentales. El código siguiente devuelve los MLEs de los parámetros de distribución como y los intervalos de confianza como las columnas de.parmhatparmci

x = [19.774 20.141 19.44 20.511 21.377 19.003 19.66 18.83];  [parmhat, parmci] = evfit(x)
parmhat =    20.2506    0.8223  parmci =     19.644 0.49861     20.857 1.3562 

Puede encontrar la media y la varianza de la distribución del valor extremo con estos parámetros utilizando la función.evstat

[meanfit, varfit] = evstat(parmhat(1),parmhat(2))
meanfit =     19.776   varfit =     1.1123

Ejemplos

Calcule el PDF de distribución de valor extremo

Calcule el PDF de una distribución de valor extremo.

t = [-5:.01:2]; y = evpdf(t);

Trace el pdf.

figure; plot(t,y)

La distribución del valor extremo es sesgada a la izquierda, y su forma general sigue siendo la misma para todos los valores de parámetro. El parámetro Location, desplaza la distribución a lo largo de la línea real y el parámetro scale, expande o contrae la distribución.musigma

A continuación se traza la función de probabilidad para diferentes combinaciones de y.musigma

x = -15:.01:5; plot(x,evpdf(x,2,1),'-', ...      x,evpdf(x,0,2),':', ...      x,evpdf(x,-2,4),'-.'); legend({'mu = 2, sigma = 1', ...         'mu = 0, sigma = 2', ...         'mu = -2, sigma = 4'}, ...        'Location','NW') xlabel('x') ylabel('f(x|mu,sigma)')

Consulte también

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