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La distribución de Weibull

Definición

El PDF de Weibull es positivo sólo para los valores positivos de, y es cero de lo contrario.x Para valores estrictamente positivos del parámetro de forma y el parámetro de escala, la densidad esba

f(x|a,b)=ba(xa)b1e(x/a)b.

Fondo

Waloddi Weibull ofreció la distribución que lleva su nombre como una herramienta analítica adecuada para modelar la fuerza de rotura de los materiales. El uso actual también incluye confiabilidad y modelado de por vida. La distribución de Weibull es más flexible que el exponencial para estos fines.

Para ver por qué, considere la función de tasa de riesgo (tasa de fallas instantánea). Si () y () son el PDF y CDF de una distribución, entonces la tasa de peligro es ftFt

h(t)=f(t)1F(t)

Sustituir el PDF y el CDF de la distribución exponencial de () y () anterior produce una constante.ftFt El ejemplo siguiente muestra que la tasa de peligro para la distribución de Weibull puede variar.

Trace la función de riesgo de distribución de Weibull

La distribución exponencial tiene una función de riesgo constante, que generalmente no es el caso de la distribución de Weibull. La gráfica muestra la función de riesgo para distribuciones exponenciales (línea discontinua) y Weibull (línea sólida) que tienen la misma vida media. La tasa de peligro de Weibull aquí aumenta con la edad (una suposición razonable).

t = 0:0.1:4.5; h1 = exppdf(t,0.8862)./(1-expcdf(t,0.8862)); h2 = wblpdf(t,1,2)./(1-wblcdf(t,1,2)); plot(t,h1,'--',t,h2,'-')

Los parámetros estimados de la distribución de Weibull

Supongamos que desea modelar la resistencia a la tracción de un filamento delgado utilizando la distribución de Weibull. La función proporciona estimaciones de máxima verosimilitud e intervalos de confianza para los parámetros de Weibull.wblfit

rng('default');  % For reproducibility strength = wblrnd(0.5,2,100,1);  % Simulated strengths [p,ci] = wblfit(strength)
p = 1×2

    0.4768    1.9622

ci = 2×2

    0.4291    1.6821
    0.5298    2.2890

El intervalo de confianza predeterminado de 95% para cada parámetro contiene el valor verdadero.

Parámetros de estimación de una distribución de Weibull de tres parámetros

En este ejemplo se muestra cómo estimar los parámetros de una distribución de Weibull de tres parámetros mediante una función de densidad de probabilidad personalizada.

Estadísticas y machine learning Toolbox™ utiliza una distribución de Weibull de dos parámetros con un parámetro de forma

<math display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
y un parámetro de escala
<math display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
. La distribución de Weibull puede tomar un parámetro más, un parámetro de ubicación
<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
. La función de densidad de probabilidad se

<math display="block">
<mrow>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>|</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo>,</mo>
<mi>c</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left left">
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
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<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
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<mi>b</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
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<mi mathvariant="normal">exp</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>(</mo>
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<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi>
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<mi>a</mi>
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</mfrac>
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<mi>b</mi>
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</msup>
<mo>)</mo>
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<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mtext>if </mtext>
</mrow>
<mi>x</mi>
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<mi>c</mi>
<mo>,</mo>
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<mrow>
<mn>0</mn>
</mrow>
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<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mtext>if </mtext>
</mrow>
<mi>x</mi>
<mo></mo>
<mi>c</mi>
<mo>,</mo>
</mrow>
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</mtr>
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Dónde

<math display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
</mrow>
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Y
<math display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
son valores positivos y
<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
es un valor real.

Genere datos de muestra de tamaño 1000 desde una distribución de Weibull de tres parámetros con el parámetro de forma 1, el parámetro de escala 1 y el parámetro de ubicación 10.

rng('default') % For reproducibility data = wblrnd(1,1,[1000,1])+10;

Defina una función de densidad de probabilidad para una distribución de Weibull de tres parámetros.

custpdf = @(x,a,b,c) (x>c).*(b/a).*(((x-c)/a).^(b-1)).*exp(-((x-c)/a).^b);

La función de densidad de probabilidad de Weibull es positiva sólo para

<math display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
. Esta restricción también implica que un parámetro de ubicación
<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
es menor que el mínimo de los datos de ejemplo. Incluya los límites inferior y superior de los parámetros mediante los argumentos de par nombre-valor y, respectivamente.'LowerBound''UpperBound'

opt = statset('MaxIter',1e5,'MaxFunEvals',1e5,'FunValCheck','off'); phat = mle(data,'pdf',custpdf,'start',[5 5 5],'Options',opt,...     'LowerBound',[0 0 -Inf],'UpperBound',[Inf Inf min(data)])
phat = 1×3

    1.0258    1.0618   10.0004

Si no convergen con las opciones de estadísticas predeterminadas, puede modificarlas mediante el argumento de par nombre-valor.mle'Options' Cree una estructura de opciones de estadísticas mediante la función.optstatset A continuación, utilice como el valor de.opt'Options'

La opción incluye lo siguiente:opt

  • : Permite aumentar el número máximo de iteraciones.'MaxIter',1e51e5

  • : Permite aumentar el número máximo de evaluaciones de funciones de objeto.'MaxFunEvals',1e51e5

  • : Permite desactivar la comprobación de valores de función de objeto no válidos.'FunValCheck','off'

Para una distribución con una región que tiene densidad de probabilidad cero, puede probar algunos parámetros que tienen densidad cero y no se pueden estimar los parámetros.mle Para evitar este problema, puede desactivar la opción que comprueba los valores de función no válidos mediante.'FunValCheck','off'

Si el parámetro de escala

<math display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
es menor que 1, la densidad de probabilidad de la distribución de Weibull se aproxima al infinito como
<math display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
</mrow>
</math>
va a
<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
Dónde
<math display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
es el parámetro Location. El máximo de la función de probabilidad es infinito. puede encontrar estimaciones satisfactorias en algunos casos, pero el máximo global es degenerado cuandomle
<math display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo><</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
.

Consulte también

Ejemplos relacionados

Más acerca de