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La distribución generalizada de Pareto

Definición

La función de densidad de probabilidad para la distribución de Pareto generalizada con el parámetro de forma ≠, el parámetro de escala y el parámetro Threshold sek0σθ

y=f(x|k,σ,θ)=(1σ)(1+k(xθ)σ)11k

para <, when > 0, o para < < –/cuando < 0.θxkθxθσkk

Para = 0, la densidad esk

y=f(x|0,σ,θ)=(1σ)e(xθ)σ

para <.θx

Si = 0 y = 0, la distribución de Pareto generalizada equivale a la distribución exponencial.kθ Si > 0 y =/, la distribución de Pareto generalizada equivale a la distribución de Pareto con un parámetro de escala igual akθσk σ/k y un parámetro de forma igual a 1/k.

Fondo

Al igual que la distribución exponencial, la distribución de Pareto generalizada se utiliza a menudo para modelar las colas de otra distribución. Por ejemplo, es posible que tenga arandelas de un proceso de fabricación. Si las influencias aleatorias en el proceso conducen a diferencias en los tamaños de las arandelas, se podría usar una distribución de probabilidad estándar, como la normal, para modelar esos tamaños. Sin embargo, mientras que la distribución normal podría ser un buen modelo cerca de su modo, podría no ser un buen ajuste a los datos reales en las colas y un modelo más complejo podría ser necesario para describir el rango completo de los datos. Por otro lado, solo registrar los tamaños de las arandelas mayores (o más pequeños) que un cierto umbral significa que puede ajustar un modelo separado a esos datos de cola, que se conocen como.exceedences Puede utilizar la distribución de Pareto generalizada de esta manera, para proporcionar un buen ajuste a extremos de datos complicados.

La distribución de Pareto generalizada permite una gama continua de formas posibles que incluye las distribuciones exponencial y Pareto como casos especiales. Puede utilizar cualquiera de esas distribuciones para modelar un DataSet determinado de excedencias. La distribución de Pareto generalizada le permite "dejar que los datos decidan" qué distribución es adecuada.

La distribución de Pareto generalizada tiene tres formas básicas, cada una de las cuales corresponde a una distribución limitante de los datos de excedencia de una clase diferente de distribuciones subyacentes.

  • Las distribuciones cuyas colas disminuyen exponencialmente, como la normal, conducen a un parámetro de forma de Pareto generalizado de cero.

  • Las distribuciones cuyas colas disminuyen como polinomiales, como las de Student, conducen a un parámetro de forma positiva.t

  • Las distribuciones cuyas colas son finitas, como la beta, conducen a un parámetro de forma negativa.

La distribución de Pareto generalizada se utiliza en las colas de objetos de ajuste de distribución del objeto.paretotails

Parámetros

Si genera un gran número de valores aleatorios de la distribución de un alumno con 5 grados de libertad y, a continuación, descarta todo menos de 2, puede ajustar una distribución de Pareto generalizada a esas excedencias.t

rng default  % For reproducibility t = trnd(5,5000,1); y = t(t > 2) - 2; paramEsts = gpfit(y)
paramEsts = 1×2

    0.1445    0.7225

Tenga en cuenta que la estimación de parámetro de forma (el primer elemento) es positiva, que es lo que cabría esperar en función de las excedencias de la distribución de un estudiante.t

hist(y+2,2.25:.5:11.75); h = findobj(gca,'Type','patch'); h.FaceColor = [.8 .8 1]; xgrid = linspace(2,12,1000); line(xgrid,.5*length(y)*...      gppdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),2));

Ejemplos

Compute generalizado Pareto Distribution pdf

Calcule el PDF de tres distribuciones de Pareto generalizadas. El primero tiene el parámetro de forma, el segundo tiene, y el tercero tiene.k = -0.25k = 0k = 1

x = linspace(0,10,1000); y1 = gppdf(x,-.25,1,0);  y2 = gppdf(x,0,1,0);  y3 = gppdf(x,1,1,0);

Trace los tres archivos PDF en la misma figura.

figure; plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':') legend({'K < 0' 'K = 0' 'K > 0'});

Referencias

[1] Embrechts, P., C. Klüppelberg, and T. Mikosch. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. New York: Springer, 1997.

[2] Kotz, S., and S. Nadarajah. Extreme Value Distributions: Theory and Applications. London: Imperial College Press, 2000.

Consulte también

Ejemplos relacionados

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