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gram

Gramianos de controlabilidad y observabilidad

Sintaxis

Wc = gram(sys,'c')
Wc = gram(sys,'o')
Wc = gram(___,opt)


Descripción

Wc = gram(sys,'c') calcula el gramiano de controlabilidad del modelo de espacio de estados (ss) sys.

Wc = gram(sys,'o') calcula el gramiano de observabilidad del modelo ss sys.

Wc = gram(___,opt) calcula los gramianos limitados por el tiempo o la frecuencia. opt es una opción establecida que especifica intervalos de tiempo o frecuencia para el cálculo. Cree opt usando el comando gramOptions.

Puede utilizar gramianos para estudiar las propiedades de controlabilidad y observabilidad de los modelos de espacio de estados y para tareas de reducción de modelo [1]. Tienen mejores propiedades numéricas que las matrices de controlabilidad y observabilidad formadas por ctrb y obsv.

A partir del modelo de espacio de estados de tiempo continuo

$$\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

el gramiano de controlabilidad se define por medio de

$$W_c={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A\tau }}B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau$$

El gramiano de controlabilidad es definido positivo únicamente si (A, B) es controlable.

El gramiano de observabilidad se define por medio de

$$W_o={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{A^T\tau }{C}^{T}C{e}^{A\tau }d\tau }$$

El gramiano de observabilidad es definido positivo únicamente si (A, C) es observable.

Los equivalentes de tiempo discreto de los gramianos de controlabilidad y observabilidad son

$$\begin{array}{cc}{W}_c={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{A}^{k}B{B}^T{(A^T)}^k,}& W_o=\end{array}{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{(A^T)}^k{C}^{T}C{A}^k}$$

respectivamente.

Utilice gramianos limitados por el tiempo o la frecuencia para examinar la controlabilidad u observabilidad de los estados dentro de unos intervalos de tiempo o frecuencia concretos. La definición de estos gramianos se describe en [2].

Ejemplos

Calcular gramianos limitados por la frecuencia

Calcule el gramiano de controlabilidad del siguiente modelo de espacio de estados. Centre el cálculo en el intervalo de frecuencia con la mayor energía.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

El modelo contiene un pico a 1 rad/s. Utilice gramOptions para especificar un intervalo en torno a esa frecuencia.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Limitaciones

La matriz A debe ser estable, es decir, todos los valores propios tienen partes reales negativas en tiempo continuo y magnitud estrictamente inferior a uno en tiempo discreto.

Algoritmos

El gramiano de controlabilidad W_c se obtiene resolviendo la ecuación de Lyapunov de tiempo continuo

$$A{W}_c+W_c{A}^T+B{B}^T=0$$

o su equivalente de tiempo discreto

$$A{W}_c{A}^T-W_c+B{B}^T=0$$

Del mismo modo, el gramiano de observabilidad W_o resuelve la ecuación de Lyapunov

$$A^T{W}_o+W_{o}A+C^{T}C=0$$

en tiempo continuo y la ecuación de Lyapunov

$$A^T{W}_{o}A-W_o+C^{T}C=0$$

en tiempo discreto.

El cálculo de los gramianos limitados por el tiempo y la frecuencia se describe en [2].

Referencias

[1] Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, 1980.

[2] Gawronski, W. and J.N. Juang. “Model Reduction in Limited Time and Frequency Intervals.” International Journal of Systems Science. Vol. 21, Number 2, 1990, pp. 349–376.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

gramOptions | hsvd | balreal | lyap | dlyap