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Distribución de valor extremo generalizado

Definición

La función de densidad de probabilidad para la distribución de valor extremo generalizado con el parámetro de ubicación μ, el parámetro de escala σ y el parámetro de forma ≠ esk0

y=f(x|k,μ,σ)=(1σ)exp((1+k(xμ)σ)1k)(1+k(xμ)σ)11k

Para

1 + k(x-μ)σ > 0

corresponde al caso del tipo II, mientras que corresponde al caso del tipo III.k > 0k < 0 Para, correspondiente al caso de tipo I, la densidad esk = 0

y=f(x|0,μ,σ)=(1σ)exp(exp((xμ)σ)(xμ)σ)

Fondo

Al igual que la distribución de valor extremo, la distribución de valor extremo generalizada se utiliza a menudo para modelar el valor más pequeño o más grande entre un gran conjunto de valores aleatorios independientes y distribuidos idénticamente que representan mediciones u observaciones. Por ejemplo, puede tener lotes de 1000 lavadoras de un proceso de fabricación. Si graba el tamaño de la arandela más grande en cada lote, los datos se conocen como bloque maxima (o minima Si graba el más pequeño). Puede utilizar la distribución de valores extremos generalizada como modelo para esos bloques maxima.

El valor extremo generalizado combina tres distribuciones más sencillas en una sola forma, lo que permite una gama continua de formas posibles que incluye las tres distribuciones más sencillas. Puede utilizar cualquiera de esas distribuciones para modelar un DataSet determinado de bloque maxima. La distribución del valor extremo generalizado le permite "dejar que los datos decidan" qué distribución es adecuada.

Los tres casos cubiertos por la distribución generalizada del valor extremo se denominan a menudo los tipos I, II y III. Cada tipo corresponde a la distribución limitante del bloque maxima de una clase diferente de distribuciones subyacentes. Las distribuciones cuyas colas disminuyen exponencialmente, como la normal, conducen a las distribuciones de tipo I. cuyas colas disminuyen como un polinomio, como la del estudiante, conducen al tipo II. Las distribuciones cuyas colas son finitas, como la beta, conducen al tipo III.t

Los tipos I, II y III a veces también se denominan tipos Gumbel, Frechet y Weibull, aunque esta terminología puede ser ligeramente confusa. Los casos de tipo I (Gumbel) y tipo III (Weibull) corresponden realmente a las imágenes de espejo de las distribuciones habituales de Gumbel y Weibull, por ejemplo, calculadas por las funciones y, o, respectivamente.evcdfevfitwblcdfwblfit Por último, el caso de tipo II (Frechet) equivale a tomar el recíproco de los valores de una distribución estándar de Weibull.

Parámetros

Si generas 250 bloques de 1000 valores aleatorios extraídos de la distribución de Student con 5 grados de libertad, y tomas su maxima, puedes encajar una distribución de valor extremo generalizado a esos máximos.t

blocksize = 1000; nblocks = 250; rng default  % For reproducibility t = trnd(5,blocksize,nblocks); x = max(t); % 250 column maxima paramEsts = gevfit(x)
paramEsts = 1×3

    0.1185    1.4530    5.8929

Observe que la estimación del parámetro de forma (el primer elemento) es positiva, que es lo que cabría esperar en función del bloque maxima de la distribución de Student.t

histogram(x,2:20,'FaceColor',[.8 .8 1]); xgrid = linspace(2,20,1000); line(xgrid,nblocks*...      gevpdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),paramEsts(3)));

Ejemplos

Calcule el PDF de distribución de valor extremo generalizado

Genere ejemplos de funciones de densidad de probabilidad para las tres formas básicas de la distribución de valor extremo generalizado.

x = linspace(-3,6,1000); y1 = gevpdf(x,-.5,1,0);  y2 = gevpdf(x,0,1,0);  y3 = gevpdf(x,.5,1,0); plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':') legend({'K < 0, Type III' 'K = 0, Type I' 'K > 0, Type II'})

Tenga en cuenta que para, la distribución tiene densidad de probabilidad cero para tal quek > 0x

<math display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo><</mo>
<mo>-</mo>
<mi>σ</mi>
<mo>/</mo>
<mi>k</mi>
<mo>+</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow>
</math>
.

Para, la distribución tiene densidad de probabilidad cero parak < 0

<math display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>></mo>
<mo>-</mo>
<mi>σ</mi>
<mo>/</mo>
<mi>k</mi>
<mo>+</mo>
<mi>μ</mi>
</mrow>
</math>
.

Para, no hay límite superior o inferior.k = 0

Consulte también

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