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Distribución binomial negativa

Definición

Cuando el parámetro es un entero, el pdf binomial negativo esr

y=f(x|r,p)=(r+x1x)prqxI(0,1,...)(x)

donde = 1 –.qp Cuando no es un número entero, el coeficiente binomial en la definición del pdf se sustituye por la expresión equivalenter

Γ(r+x)Γ(r)Γ(x+1)

Fondo

En su forma más simple (cuando es un entero), la distribución binomial negativa modela el número de fallas antes de que se alcance un número especificado de éxitos en una serie de ensayos idénticos e independientes.rx Sus parámetros son la probabilidad de éxito en una sola prueba, y el número de éxitos,.pr Un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando = 1, es el, que modela el número de fallas antes del primer éxito.rDistribución geométrica

Más generalmente, puede tomar en valores no enteros.r Esta forma de la distribución binomial negativa no tiene ninguna interpretación en términos de ensayos repetidos, pero, al igual que el, es útil en el modelado de datos de recuento.La distribución de Poisson La distribución binomial negativa es más general que la distribución de Poisson porque tiene una varianza que es mayor que su media, por lo que es adecuado para los datos de recuento que no cumplen los supuestos de la distribución de Poisson. En el límite, a medida que aumenta el infinito, la distribución binomial negativa se aproxima a la distribución de Poisson.r

Parámetros

Supongamos que está recopilando datos sobre el número de accidentes automovilísticos en una carretera ocupada, y le gustaría poder modelar el número de accidentes por día. Debido a que estos son datos de recuento, y porque hay un gran número de coches y una pequeña probabilidad de un accidente para cualquier coche específico, es posible que piense en utilizar la distribución de Poisson. Sin embargo, la probabilidad de tener un accidente es probable que varíe día a día a medida que el tiempo y la cantidad de tráfico cambien, por lo que no se cumplen los supuestos necesarios para la distribución de Poisson. En particular, la varianza de este tipo de datos de conteo a veces excede la media por una gran cantidad. Los datos a continuación exhiben este efecto: la mayoría de los días tienen pocos o ningún accidente, y unos pocos días tienen un gran número.

accident = [2  3  4  2  3  1  12  8  14  31  23  1  10  7  0]; m = mean(accident)
m = 8.0667 
v = var(accident)
v = 79.3524 

La distribución binomial negativa es más general que la de Poisson, y a menudo es adecuada para contar datos cuando el Poisson no lo es. La función devuelve las estimaciones de máxima verosimilitud (MLEs) y los intervalos de confianza para los parámetros de la distribución binomial negativa.nbinfit Aquí están los resultados de ajustar los datos:accident

[phat,pci] = nbinfit(accident)
phat = 1×2

    1.0060    0.1109

pci = 2×2

    0.2152    0.0171
    1.7968    0.2046

Es difícil dar una interpretación física en este caso a los parámetros individuales. Sin embargo, los parámetros estimados se pueden utilizar en un modelo para el número de accidentes diarios. Por ejemplo, una gráfica de la función de probabilidad acumulada estimada muestra que si bien se estima que hay un 10% de probabilidades de que no haya accidentes en un día determinado, también hay un 10% de probabilidades de que haya 20 o más accidentes.

plot(0:50,nbincdf(0:50,phat(1),phat(2)),'.-'); xlabel('Accidents per Day') ylabel('Cumulative Probability')

Ejemplo

Calcular y trazar la distribución binomial negativa PDF

Calcule y trace el PDF usando cuatro valores diferentes para el parámetro, el número deseado de éxitos:,,, y.r.1136 En cada caso, la probabilidad de éxito es.p.5

x = 0:10; plot(x,nbinpdf(x,.1,.5),'s-', ...      x,nbinpdf(x,1,.5),'o-', ...      x,nbinpdf(x,3,.5),'d-', ...      x,nbinpdf(x,6,.5),'^-'); legend({'r = .1' 'r = 1' 'r = 3' 'r = 6'}) xlabel('x') ylabel('f(x|r,p)')

La trama muestra que la distribución binomial negativa puede tomar una variedad de formas, que van desde muy sesgada a casi simétrica, dependiendo del valor de.r

Consulte también

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