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Distribución geométrica

Visión general

La distribución geométrica modela el número de fallas antes de un éxito en una serie de ensayos independientes, donde cada ensayo da como resultado éxito o fracaso, y la probabilidad de éxito en cualquier ensayo individual es constante. Por ejemplo, si lanza una moneda, la distribución geométrica modela el número de colas observadas antes de obtener una cabeza. La distribución geométrica es discreta, existente sólo en los enteros no negativos.

Parámetros

La distribución geométrica utiliza el siguiente parámetro.

ParámetroDescripción
0p1Probabilidad de éxito

Función de distribución de probabilidad

Definición

La función de distribución de probabilidad (pdf) de la distribución geométrica es

y=f(x|p)=p(1p)x;x=0,1,2,,

donde está la probabilidad de éxito, y es el número de fallas antes del primer éxito.px El resultado es la probabilidad de observar exactamente pruebas antes de un éxito, cuando la probabilidad de éxito en cualquier juicio dado es.yxp Para distribuciones discretas, la función de distribución de probabilidad también se conoce como la función de masa de probabilidad (PMF).

conspirar

Esta gráfica muestra cómo cambiar el valor del parámetro de probabilidad altera la forma del pdf.p Se usa para calcular el PDF para valores iguales de 1 a 10, para tres valores diferentes de.geopdfxp A continuación, trace los tres archivos PDF en la misma figura para una comparación visual.

x = [1:10]; y1 = geopdf(x,0.1);   % For p = 0.1 y2 = geopdf(x,0.25);  % For p = 0.25 y3 = geopdf(x,0.75);  % For p = 0.75  figure; plot(x,y1,'kd') hold on plot(x,y2,'ro') plot(x,y3,'b+') legend({'p = 0.1','p = 0.25','p = 0.75'}) hold off

En esta trama, el valor de es la probabilidad de observar exactamente pruebas antes de un éxito.yx Cuando la probabilidad de éxito es grande, disminuye rápidamente como aumentos, y la probabilidad de observar un gran número de fallas antes de que un éxito se convierta rápidamente en pequeña.pyx Pero cuando la probabilidad de éxito es pequeña, disminuye lentamente a medida que aumenta.pyx La probabilidad de observar un gran número de fallas antes de un éxito todavía disminuye a medida que aumenta el número de ensayos, pero a un ritmo mucho más lento.

Generación aleatoria de números

Un número aleatorio generado a partir de una distribución geométrica representa el número de fallas observadas antes de un éxito en un solo experimento, dada la probabilidad de éxito para cada ensayo independiente.p Se utiliza para generar números aleatorios a partir de la distribución geométrica.geornd Por ejemplo, lo siguiente genera un número aleatorio de una distribución geométrica con probabilidad de éxito igual a 0,1.p

p = 0.1; r = geornd(p)
r = 1 

El número aleatorio devuelto representa el número de fallas observadas antes de un éxito en una serie de ensayos independientes.

Relación con otras distribuciones

La distribución geométrica es un caso especial de la, con el número especificado de parámetro de éxitos igual a 1.distribución binomial negativar

Función de distribución acumulativa

Definición

La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución geométrica es

y=F(x|p)=1(1p)x+1;x=0,1,2,...,

donde está la probabilidad de éxito, y es el número de fallas antes del primer éxito.px El resultado es la probabilidad de observar hasta las pruebas antes de un éxito, cuando la probabilidad de éxito en cualquier juicio dado es.yxp

conspirar

Esta gráfica muestra cómo el cambio del valor del parámetro altera la forma de la CDF.p Se utiliza para calcular los valores de CDF en igual 1 a 10, para tres valores diferentes de.geocdfxp A continuación, trace los tres CDFS en la misma figura para una comparación visual.

x = [1:10]; y1 = geocdf(x,0.1);   % For p = 0.1 y2 = geocdf(x,0.25);  % For p = 0.25 y3 = geocdf(x,0.75);  % For p = 0.75  figure; plot(x,y1,'kd') hold on plot(x,y2,'ro') plot(x,y3,'b+') legend({'p = 0.1','p = 0.25','p = 0.75'}) hold off

En esta trama, el valor de es la probabilidad de observar hasta las pruebas antes de un éxito.yx Cuando la probabilidad de éxito es grande, aumenta rápidamente como aumentos.pyx La probabilidad de observar un éxito rápidamente se vuelve muy alta, incluso para un pequeño número de pruebas. Pero cuando la probabilidad de éxito es pequeña, aumenta lentamente a medida que aumenta.pyx La probabilidad de observar un éxito todavía aumenta a medida que aumenta el número de ensayos, pero a un ritmo mucho más lento.

CDF inversa

El CDF inverso de una distribución geométrica determina el valor de eso corresponde a una probabilidad de observar éxitos en una fila en ensayos independientes.xyx Se utiliza para calcular el CDF inverso de la distribución geométrica.geoinv Por ejemplo, lo siguiente devuelve el entero más pequeño posible de tal forma que el CDF geométrico evaluado en es mayor o igual que 0,1, cuando la probabilidad de éxito para cada ensayo independiente es 0,03.xyxp

y = 0.1; p = 0.03; x = geoinv(y,p)
x = 3 

Media y varianza

La media de la distribución geométrica es

mean=1pp,

y la varianza de la distribución geométrica es

var=1pp2,

donde está la probabilidad de éxito.p

Se utiliza para calcular la media y la varianza de una distribución geométrica.geostat Por ejemplo, a continuación se calcula la media y la varianza de una distribución geométrica con un parámetro de probabilidad igual a 0,25.mvp

p = 0.25; [m,v] = geostat(p)
m = 3 
v = 12 

Ejemplo

Calcular probabilidades de distribución geométrica

Supongamos que la probabilidad de que una batería de un automóvil de cinco años no empiece en climas fríos es de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que el coche empiece por 25 días consecutivos durante una larga toma de frío?

Modele el escenario utilizando una distribución geométrica, donde "error" significa que el coche comienza, y "éxito" significa que el coche no arranca. Determine la probabilidad de observar 25 fallas (el coche arranca) sin observar un solo éxito (el coche no arranca). La probabilidad de éxito para cada ensayo (el coche no comienza en un solo intento) es igual a 0,03.p

Calcule la función de distribución acumulativa (CDF) para igual a 25.x Esto devuelve la probabilidad de observar el éxito (el coche no se inicia) en hasta 25 ensayos.

x = 25; p = 0.03; psuccess = geocdf(x,p);

Para determinar la probabilidad de no observar un éxito en hasta 25 ensayos-en otras palabras, la probabilidad de que el coche comienza en cada uno de los 25 intentos-restar este resultado de 1.

pfail = 1 - psuccess
pfail = 0.4530 

El resultado devuelto es la probabilidad de que el coche se inicie cada día durante 25 días seguidos durante una toma de frío.pfail = 0.4530

La gráfica CDF muestra que, a medida que aumenta el número de ensayos (), la probabilidad de éxito () también aumenta.xy En este ejemplo, significa que cuantas más veces intente iniciar el automóvil, mayor será la probabilidad de que no empiece en al menos una de esas ocasiones.

figure; x = 0:25; y = geocdf(x,0.03); stairs(x,y)

Consulte también

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