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Distribución de Poisson

Visión general

La distribución de Poisson es una familia de curvas de un parámetro que modela el número de veces que se produce un evento aleatorio. La distribución es adecuada para aplicaciones que incluyan el recuento del número de veces que un evento aleatorio tiene lugar en un determinado periodo de tiempo, en un área y una distancia determinadas, etc. Algunas de las aplicaciones de muestra con distribuciones de Poisson incluyen el número de de clics por segundos del contador Geiger, el número de personas que entran en una tienda en una hora y el número de paquetes perdidos en una red por minuto.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ ofrece distintas formas de trabajar con la distribución de Poisson.

  • Cree un objeto de distribución de probabilidad PoissonDistribution ajustando una distribución de probabilidad a los datos de muestra o especificando los valores de los parámetros. Después, utilice las funciones del objeto para evaluar la distribución, generar números aleatorios, etc.

  • Trabaje con la distribución de Poisson de forma interactiva utilizando la app Distribution Fitter. Puede exportar un objeto de la app y utilizar las funciones del objeto.

  • Utilice funciones específicas de la distribución (poisscdf, poisspdf, poissinv, poisstat, poissfit y poissrnd) con parámetros de distribución especificados. Las funciones específicas de la distribución pueden aceptar parámetros de varias distribuciones de Poisson.

  • Utilice funciones de distribución genéricas (cdf, icdf, pdf, random) con un nombre de distribución específico ('Poisson') y parámetros.

Parámetros

La distribución de Poisson usa el siguiente parámetro.

ParámetroDescripciónSoporte
lambda (λ)Mediaλ0

El parámetro λ también es igual a la varianza de la distribución de Poisson.

La suma de dos variables aleatorias de Poisson random con los parámetros λ1 y λ2 es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro λ = λ1 + λ2 .

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución de Poisson es

f(x|λ)=λxx!eλ;x=0,1,2,,.

El resultado es la probabilidad de x ocurrencias exactamente del evento aleatorio. En las distribuciones discretas, la pdf también se conoce como la función de masa de probabilidad (pmf).

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la pdf de la distribución de Poisson.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución de Poisson es

p=F(x|λ)=eλi=0floor(x)λii!.

El resultado es la probabilidad de, cómo máximo, x ocurrencias del evento aleatorio.

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la cdf de la distribución de Poisson.

Ejemplos

Calcular la pdf de la distribución de Poisson

Calcule la pdf de la distribución de Poisson con el parámetro lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisspdf(x,4);

Represente la pdf con barras de una anchura de 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type bar.

Calcular la cdf de la distribución de Poisson

Calcule la cdf de la distribución de Poisson con el parámetro lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

Represente la cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type stair.

Comparar las pdf de distribución normal y de Poisson

Cuando lambda es muy grande, se puede aproximar a la distribución de Poisson usando una distribución normal con una media de lambda y una varianza de lambda.

Calcule la pdf de la distribución de Poisson con el parámetro lambda = 50.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1,lambda);

Calcule la pdf de la distribución normal correspondiente.

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Represente las pdf en el mismo eje.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title Poisson and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Poisson Distribution, Normal Distribution.

La pdf de la distribución normal se aproxima de manera muy cercana a la pdf de la distribución de Poisson.

Distribuciones relacionadas

  • Binomial Distribution — La distribución binomial es una distribución discreta de dos parámetros que cuenta el número de éxitos en N pruebas independientes con la probabilidad de éxito p. La distribución de Poisson es el caso limitante de una distribución binomial donde N se acerca a infinito y p a cero mientras Np = λ. Consulte Compare Binomial and Poisson Distribution pdfs.

  • Exponential Distribution — La distribución exponencial es una distribución continua de un parámetro que tiene el parámetro μ (media). La distribución de Poisson modela los recuentos del número de veces en los que tiene lugar un evento aleatorio en un determinado periodo de tiempo. En un modelo así, la cantidad de tiempo entre las ocurrencias viene modelada por la distribución exponencial con la media 1λ.

  • Distribución normal — La distribución normal es una distribución continua de dos parámetros que tiene los parámetros μ (media) y σ (desviación estándar). Cuando λ es muy grande, se puede aproximar a la distribución de Poisson usando una distribución normal con μ = λ y σ2 = λ. Consulte Comparar las pdf de distribución normal y de Poisson.

Referencias

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[4] Loader, Catherine. Fast and Accurate Computation of Binomial Probabilities. July 9, 2000.

Consulte también

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