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margin

Margen de ganancia, margen de fase y frecuencias de cruce

Sintaxis

margin(sys)

margin(sys,w)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys)

[Gm,Pm] = margin(sys,J1,...,JN)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys,Focus=[fmin,fmax])

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(mag,phase,w)

Descripción

Gráficas de márgenes

margin(sys) representa la respuesta de Bode de sys en la pantalla e indica los márgenes de ganancia y fase en la gráfica. Los márgenes de ganancia se expresan en dB en la gráfica.

Las líneas verticales continuas marcan el margen de ganancia y el margen de fase. Las líneas verticales discontinuas indican las ubicaciones de Wcp, la frecuencia donde se mide el margen de fase, y Wcg, la frecuencia donde se mide el margen de ganancia. El título de la gráfica incluye la magnitud y la ubicación del margen de fase y ganancia.

Gm y Pm de un sistema indican la estabilidad relativa del sistema de lazo cerrado que se formó aplicando feedback negativo unitario a sys, como se muestra en la siguiente figura.

Gm es la cantidad de varianza de ganancia necesaria para unir la ganancia de lazo en la frecuencia Wcg, donde el ángulo de fase es –180° (módulo 360°). Dicho de otra forma, el margen de ganancia es 1/g si g es la ganancia en la frecuencia de fase –180°. Del mismo modo, el margen de fase es la diferencia entre la fase de la respuesta y –180° cuando la ganancia de lazo es 1,0. La frecuencia Wcp a la que la magnitud es 1,0 se denomina frecuencia de unidad-ganancia o frecuencia de cruce de ganancias. Cuando sys tiene más de un cruce, margin indica las frecuencias con un margen de ganancia más cercano a 0 dB y un margen de fase más cercano a 0°.

Generalmente, los márgenes de ganancia de tres o más combinados con los márgenes de fase entre 30° y 60° resultan ser tradeoffs razonables entre ancho de banda y estabilidad. Sin embargo, en algunos sistemas multivariables, la estabilidad se puede perder a una frecuencia diferente para variaciones de ganancia y fase mucho menores. En estos sistemas, la noción de márgenes de disco proporciona estimaciones más fiables de los verdaderos márgenes de ganancia y fase. Para más información sobre márgenes de disco, consulte diskmargin (Robust Control Toolbox).

margin(sys,w) representa la respuesta de Bode de sys utilizando el vector de frecuencias w en rad/TimeUnit. Utilice esta sintaxis cuando tenga modelos dispersos como objetos de modelos sparss o mechss.

Valores de márgenes

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys) devuelve el margen de ganancia Gm en unidades absolutas, el margen de fase Pm y las frecuencias correspondientes Wcg y Wcp de sys. Wcg es la frecuencia en la que se mide el margen de ganancia, que es una frecuencia de cruce de fases de –180°. Wcp es la frecuencia en la que se mide el margen de fase, que es una frecuencia de cruce de ganancias de 0 dB. Estas frecuencias se expresan en radianes/TimeUnit, donde TimeUnit es la unidad especificada en la propiedad TimeUnit de sys. Cuando sys tiene varios cruces, margin devuelve los márgenes de ganancia y fase más pequeños y las frecuencias correspondientes.

margin devuelve una advertencia si el sistema no es estable internamente, si el lazo cerrado no es estable o contiene cancelaciones de polos y ceros fuera de la mitad izquierda abierta del plano.

[Gm,Pm] = margin(sys,J1,...,JN) devuelve el margen de ganancia Gm y el margen de fase Pm de las entradas en el arreglo de modelos sys con subíndices (J1,...,JN).

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys,Focus=[fmin,fmax]) calcula los márgenes de ganancia y fase en el rango de frecuencia [fmin,fmax], ignorando los problemas de estabilidad fuera de este rango. Por ejemplo, utilice esta sintaxis para ignorar la dinámica de muy baja frecuencia a fin de calcular los márgenes de estabilidad. (desde R2024a)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(mag,phase,w) deriva los márgenes de ganancia y fase de los datos de respuesta en frecuencia. Proporcione los datos de ganancia mag en unidades absolutas y los datos de fase phase en grados. Puede proporcionar el vector de frecuencia w en cualquier unidad, y margin devuelve Wcg y Wcp en las mismas unidades.

Ejemplos

Representar los márgenes de ganancia y fase de la función de transferencia

Para este ejemplo, cree una función de transferencia continua.

sys = tf(1,[1 2 1 0])

sys =
 
         1
  ---------------
  s^3 + 2 s^2 + s
 
Continuous-time transfer function.

Muestre los márgenes de ganancia y fase gráficamente.

margin(sys)

El margen de ganancia (6,02 dB) y el margen de fase (21,4 grados) que se muestran en la titulación se marcan con líneas verticales continuas. Las líneas verticales discontinuas indican las ubicaciones de Wcg, la frecuencia donde se mide el margen de ganancia, y Wcp, la frecuencia donde se mide el margen de fase.

Márgenes de ganancia y fase de la función de transferencia

Para este ejemplo, cree una función de transferencia de tiempo discreto.

sys = tf([0.04798 0.0464],[1 -1.81 0.9048],0.1)

sys =
 
   0.04798 z + 0.0464
  ---------------------
  z^2 - 1.81 z + 0.9048
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

Calcule el margen de ganancia, el margen de fase y las frecuencias.

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys)

Gm = 2.0519

Pm = 13.5711

Wcg = 5.4376

Wcp = 4.3544

Los resultados indican que una variación de ganancia de aproximadamente 2,05 (6,24 dB) en la frecuencia de cruce de fases de 5,43 rad/s provocaría inestabilidad en el sistema. Del mismo modo, una variación de fase de aproximadamente 13,57 grados en la frecuencia de cruce de ganancias de 4,35 rad/s provocará que el sistema pierda estabilidad.

Analizar la estabilidad en un rango de frecuencia especificado

Desde R2024a

En algunas aplicaciones, es necesario calcular los márgenes de estabilidad dentro de un determinado rango de frecuencia, sin considerar dinámicas fuera de este rango. Por ejemplo, considere el siguiente sistema, con dinámica a frecuencias relativamente bajas y relativamente altas.

sys = tf(5,[1 1 10]) + tf(5e3,[1 20 1e4]);
damp(sys)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
 -5.00e-01 + 3.12e+00i     1.58e-01       3.16e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 3.12e+00i     1.58e-01       3.16e+00         2.00e+00    
 -1.00e+01 + 9.95e+01i     1.00e-01       1.00e+02         1.00e-01    
 -1.00e+01 - 9.95e+01i     1.00e-01       1.00e+02         1.00e-01    

La estabilidad del sistema de lazo cerrado CL = feedback(sys,1) frente a perturbaciones a baja frecuencia puede ser diferente que a frecuencias más altas. Para ver la diferencia, utilice la opción Focus. Primero, examine los márgenes por debajo de 10 rad/s.

[GmL,PmL,WcgL,WcpL] = margin(sys,Focus=[0 10])

GmL = Inf

PmL = 80.9920

WcgL = NaN

WcpL = 3.5137

Examine los márgenes a unos 10 rad/s.

[GmH,PmH,WcgH,WcpH] = margin(sys,Focus=[10 Inf])

GmH = Inf

PmH = 28.6437

WcgH = Inf

WcpH = 119.9618

Márgenes de ganancia y fase utilizando datos de respuesta en frecuencia

Para este ejemplo, cargue los datos de respuesta en frecuencia de un sistema de lazo abierto que se compone de valores de magnitud (m) y fase (p) medidos en las frecuencias en w.

load('openLoopFRD.mat','p','m','w');

Calcule los márgenes de ganancia y fase.

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(m,p,w)

Gm = 0.6249

Pm = 48.9853

Wcg = 1.2732

Wcp = 1.5197

Márgenes de ganancia y fase de los modelos en un arreglo

Para este ejemplo, cargue invertedPendulumArray.mat, que contiene un arreglo de 3 por 3 de modelos de péndulo invertido. La masa del péndulo varía mientras se mueve de un modelo a otro a lo largo de una única columna de sys, y la longitud del péndulo varía mientras se mueve a lo largo de una única fila. Los valores de masa utilizados son 100 g, 200 g y 300 g, y las longitudes del péndulo utilizadas son 3 m, 2 m y 1 m respectivamente.

$$\begin{array}{cccc}& Column1& Column2& Column3\\ Row1& 100g,3m& 100g,2m& 100g,1m\\ Row2& 200g,3m& 200g,2m& 200g,1m\\ Row3& 300g,3m& 300g,2m& 300g,1m\end{array}$$

load('invertedPendulumArray.mat','sys');
size(sys)

3x3 array of transfer functions.
Each model has 1 outputs and 1 inputs.

Encuentre los márgenes de ganancia y fase para todos los modelos en el arreglo.

[Gm,Pm] = margin(sys)

Gm = 3×3

    0.9800    0.9800    0.9800
    0.9800    0.9800    0.9800
    0.9800    0.9800    0.9800

Pm = 3×3

  -11.3798  -11.4118  -11.4433
  -11.4059  -11.4296  -11.4532
  -11.4228  -11.4410  -11.4592

margin devuelve dos arreglos, Gm y Pm, en los que cada entrada es el valor del margen de ganancia y fase de la entrada correspondiente en sys. Por ejemplo, el margen de ganancia y fase del modelo con un peso de péndulo de 100 g y una longitud de 2 m es Gm(1,2) y Pm(1,2), respectivamente.

Argumentos de entrada

sys — Sistema dinámico

modelo de sistema dinámico | arreglo de modelos

Sistema dinámico, especificado como un modelo de sistema dinámico SISO, o bien un arreglo de modelos de sistemas dinámicos SISO. Los sistemas dinámicos que puede utilizar incluyen modelos LTI numéricos de tiempo continuo o de tiempo discreto como los modelos tf, zpk, ss, sparss o mechss.

Si sys es un modelo de espacio de estados generalizado genss o un modelo de espacio de estados con incertidumbre uss, margin devuelve el margen de ganancia y el margen de fase del valor actual o nominal de sys. Si sys es un arreglo de modelos, margin devuelve Gm y Pm del modelo correspondiente a su subíndice J1,...,JN en sys. Para más información sobre arreglos de modelos, consulte Arreglos de los modelos.

J — Índices de modelos en un arreglo cuyos márgenes de ganancia y fase desea extraer

número entero positivo

Índices de modelos en un arreglo cuyos márgenes de ganancia y fase desea extraer, especificados como enteros positivos. Puede proporcionar tantos índices como dimensiones de arreglos hay en sys. Por ejemplo, si sys es un arreglo de 4 por 5 de modelos de sistemas dinámicos, el siguiente comando extrae Gm y Pm para la entrada (2,3) en el arreglo.

[Gm,Pm] = margin(sys,2,3);

[fmin,fmax] — Rango de frecuencia

[0,Inf] (predeterminado) | vector de dos elementos

Desde R2024a

Rango de frecuencia que se debe considerar en el análisis de estabilidad, especificado como un vector de dos elementos que contiene los límites inferior y superior del rango. El cálculo de los márgenes ignora cualquier dinámica fuera de este rango. Especifique frecuencias en rad/TimeUnit, donde TimeUnit es la propiedad TimeUnit del sistema dinámico de entrada.

Ejemplo: [1e-3,1e6]

mag — Magnitud de la respuesta del sistema

arreglo 3D

Magnitud de la respuesta del sistema en unidades absolutas, especificada como un arreglo 3D. Puesto que margin solo acepta sistemas SISO, mag es un arreglo de 1 por 1 por N, donde N es el número de puntos de frecuencia. Para ver un ejemplo, consulte Obtener datos de magnitud y fase.

phase — Fase de la respuesta del sistema

arreglo 3D

Fase de la respuesta del sistema en grados, especificada como un arreglo 3D. Puesto que margin solo acepta sistemas SISO, phase es un arreglo de 1 por 1 por N, donde N es el número de puntos de frecuencia. Para ver un ejemplo, consulte Obtener datos de magnitud y fase.

w — Frecuencias en las cuales se obtienen los valores de magnitud y fase de la respuesta del sistema

vector columna

Frecuencias en las cuales se obtienen los valores de magnitud y fase de la respuesta del sistema, especificadas como un vector columna.

Argumentos de salida

Gm — Margen de ganancia

escalar | arreglo

Margen de ganancia, devuelto como un escalar o un arreglo. Si sys es:

• Un solo modelo, entonces Gm se devuelve como un escalar.

• Un arreglo de modelos, entonces Gm es un arreglo de márgenes de ganancia de cada modelo en sys.

Gm es la cantidad de varianza de ganancia necesaria para unir la ganancia de lazo en la frecuencia Wcg, donde el ángulo de fase es –180° (módulo 360°). Dicho de otra forma, el margen de ganancia es 1/g si g es la ganancia en la frecuencia de fase –180°. Cuando sys tiene varios cruces, margin devuelve el margen de ganancia más cercano a 0 dB. Los márgenes de ganancia negativos indican que se pierde estabilidad disminuyendo la ganancia, mientras que los márgenes de ganancia positivos indican que se pierde estabilidad aumentando la ganancia.

El margen de ganancia Gm se calcula en unidades absolutas. Puede calcular el margen de ganancia en dB con

Gm_dB = 20*log10(Gm)

Pm — Margen de fase

escalar | arreglo

Margen de fase, devuelto como un escalar o un arreglo. Si sys es:

• Un solo modelo, entonces Pm se devuelve como un escalar.

• Un arreglo de modelos, entonces Pm es un arreglo de márgenes de fase de cada modelo en sys.

El margen de fase es la diferencia entre la fase de la respuesta y –180° cuando la ganancia de lazo es 1,0. Cuando sys tiene varios cruces, margin devuelve el margen de fase más cercano a 0°.

El margen de fase Pm se expresa en grados.

Wcg — Frecuencia de cruce de fases

escalar

Frecuencia de cruce de fases, devuelta como un escalar. Wcg es la frecuencia en la que se mide el margen de ganancia, que es una frecuencia de cruce de fases de –180°.

Wcg se expresa en radianes/TimeUnit, donde TimeUnit es la unidad especificada en la propiedad TimeUnit de sys.

Wcp — Frecuencia de cruce de ganancias

escalar

Frecuencia de cruce de ganancias, devuelta como un escalar. Wcp es la frecuencia en la que se mide el margen de fase, que es una frecuencia de cruce de ganancia de 0 dB.

Wcp se expresa en radianes/TimeUnit, donde TimeUnit es la unidad especificada en la propiedad TimeUnit de sys.

Sugerencias

• Cuando utiliza margin(mag,phase,w), margin se basa en la interpolación para aproximar los márgenes, que suelen generar resultados menos precisos. Por ejemplo, si no hay cruce de 0 dB dentro del rango de w, margin devuelve un margen de fase de Inf. Por lo tanto, si tiene un modelo analítico sys, utilizar [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys) es una forma más fiable de obtener los márgenes.

• Si tiene instalado Robust Control Toolbox™, puede utilizar diskmargin (Robust Control Toolbox) para calcular márgenes basados en disco que definan un rango de variaciones de ganancia y fase "seguras" para las que el lazo de feedback permanezca estable.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2024a: Especificar el rango de frecuencia para el análisis de estabilidad

Utilice Focus=[fmin,fmax] para especificar un rango de frecuencia para el análisis de estabilidad. margin ignora los problemas de estabilidad fuera del rango especificado.

R2021b: Soporte para sistemas con coeficientes complejos

Visualice y analice los márgenes de estabilidad de sistemas con coeficientes complejos.

R2021a: Soporte para modelos dispersos

Represente la respuesta en frecuencia de los modelos sparss y mechss con margin. Debe proporcionar un vector de frecuencia o un rango de frecuencia con el argumento w.

Consulte también

bode | allmargin | diskmargin (Robust Control Toolbox) | Linear System Analyzer

Temas

• Evaluar los márgenes de ganancia y fase