residue

Expansión en fracciones parciales (descomposición en fracciones parciales)

Sintaxis

[r,p,k] = residue(b,a)

[b,a] = residue(r,p,k)

Descripción

[r,p,k] = residue(b,a) encuentra los residuos, los polos y el término directo de una Expansión en fracciones parciales de la relación de dos polinomios, donde la expansión tiene la forma

$$\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\dots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_{1}s+a_0}=\frac{r_n}{s-p_n}+\mathrm{...}+\frac{r_2}{s-p_2}+\frac{r_1}{s-p_1}+k\left(s\right).$$

Las entradas para residue son vectores de coeficientes de los polinomios b = [bm ... b1 b0] y a = [an ... a1 a0]. Las salidas son los residuos r = [rn ... r2 r1], los polos p = [pn ... p2 p1] y el polinomio k. Para la mayoría de los problemas de los libros de texto, k es 0 o una constante.

[b,a] = residue(r,p,k) vuelve a convertir la expansión en fracciones parciales en la relación de dos polinomios y devuelve los coeficientes en b y a.

Ejemplos

Encontrar la expansión en fracciones parciales con raíces reales

Encuentre la expansión en fracciones parciales de la siguiente relación de polinomios F(s) usando residue

$$F(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{-4s+8}{s^2+6s+8}.$$

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 2×1

   -12
     8

p = 2×1

    -4
    -2

k =

     []

Esto representa la expansión en fracciones parciales

$$\frac{-4s+8}{s^2+6s+8}=\frac{-12}{s+4}+\frac{8}{s+2}.$$

Vuelva a convertir la expansión en fracciones parciales en coeficientes de polinomio usando residue.

[b,a] = residue(r,p,k)

b = 1×2

    -4     8

a = 1×3

     1     6     8

Este resultado representa la fracción original F(s).

Expansión con raíces complejas e igual grado de numerador y denominador

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la salida k puede ser distinta de cero.

Encuentre la expansión en fracciones parciales de una relación de dos polinomios F(s) con raíces complejas e igual grado de numerador y denominador, donde F(s) es

$$F(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{2s^3+s^2}{s^3+s+1}.$$

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i

p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i

k = 
2

residue devuelve las raíces complejas y los polos, y un término constante en k, que representa la expansión en fracciones parciales

$$F(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{2s^3+s^2}{s^3+s+1}=\frac{0.5354+1.0390i}{s-(0.3412+1.1615i)}+\frac{0.5354-1.0390i}{s-(0.3412-1.1615i)}+\frac{-0.0708}{s+0.6823}+2.$$

Expansión con el grado del numerador mayor que el grado del denominador

Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, la salida k es un vector que representa los coeficientes de un polinomio en s.

Realice la siguiente expansión en fracciones parciales de F(s) usando residue.

$$F(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{2s^4+s}{s^2+1}=\frac{0.5-1i}{s-1i}+\frac{0.5+1i}{s+1i}+2s^2-2.$$

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i

p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

k = 1×3

     2     0    -2

k representa el polinomio $$2s^2-2$$.

Argumentos de entrada

b — Coeficientes del polinomio en el numerador

vector de números

Coeficientes del polinomio en el numerador, especificados como un vector de números que representan los coeficientes del polinomio en potencias descendentes de s.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

a — Coeficientes del polinomio en el denominador

vector de números

Coeficientes del polinomio en el denominador, especificados como un vector de números que representan los coeficientes del polinomio en potencias descendentes de s.

Tipos de datos: single | double
Soporte de números complejos: Sí

Argumentos de salida

r — Residuos de la expansión en fracciones parciales

vector columna de números

Residuos de la expansión en fracciones parciales, devueltos como un vector columna de números.

p — Polos de la expansión en fracciones parciales

vector columna de números

Polos de la expansión en fracciones parciales, devueltos como un vector columna de números.

k — Término directo

vector fila de números

Término directo, devuelto como un vector fila de números que especifican los coeficientes del polinomio en potencias descendentes de s.

Más acerca de

Expansión en fracciones parciales

Considere la fracción F(s) de dos polinomios b y a de grado n y m (donde n y m son positivos), respectivamente

$$F\left(s\right)=\frac{b\left(s\right)}{a\left(s\right)}=\frac{b_n{s}^n+\dots +b_2{s}^2+b_{1}s+b_0}{a_m{s}^m+\dots +a_2{s}^2+a_{1}s+a_0}.$$

La fracción F(s) se puede representar como una suma de fracciones simples

$$\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{r_m}{s-p_m}+\frac{r_{m-1}}{s-p_{m-1}}+\dots +\frac{r_0}{s-p_0}+k(s)$$

Esta suma se llama expansión en fracciones parciales de F. Los valores r_m,...,r₁ son los residuos, los valores p_m,...,p₁ son los polos y k(s) es un polinomio en s. Para la mayoría de los problemas de los libros de texto, k(s) es 0 o una constante.

El número de polos n es

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

El vector del término directo está vacío si length(b) < length(a); en caso contrario,

length(k) = length(b)-length(a)+1

Si p(j) = ... = p(j+m-1) es un polo de multiplicidad m, entonces la expansión incluye términos de la forma

$$\frac{r_j}{s-p_j}+\frac{r_{j+1}}{{(s-p_j)}^2}+\dots +\frac{r_{j+m-1}}{{(s-p_j)}^m}.$$

Sugerencias

• residue calcula la expansión en fracciones parciales de la relación de dos polinomios en el dominio de Laplace. Para calcular la expansión en fracciones parciales en el dominio z, puede utilizar residuez (Signal Processing Toolbox).

Algoritmos

residue primero obtiene los polos usando roots. A continuación, si la fracción no es propia, el término directo k se encuentra utilizando deconv, que realiza una división larga de polinomios. Finalmente, residue determina los residuos evaluando el polinomio con raíces individuales eliminadas. Para las raíces repetidas, resi2 calcula los residuos en las ubicaciones de las raíces repetidas.

Numéricamente, la expansión en fracciones parciales de una relación de polinomios representa un problema mal planteado. Si el polinomio denominador, a(s), está cerca de un polinomio con múltiples raíces, entonces pequeños cambios en los datos, como errores de redondeo, pueden resultar en cambios arbitrariamente grandes en los polos y residuos resultantes. Son preferibles las formulaciones de problemas que utilizan representaciones de espacio de estados o de polo cero.

Referencias

[1] Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer. Digital Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, p. 56.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

deconv | poly | roots

Temas

• Crear y evaluar polinomios