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Distribución normal multivariada

Visión general

La distribución normal multivariada es una generalización de la a dos o más variables.distribución normal univariada Es una distribución para vectores aleatorios de variables correlacionadas, donde cada elemento vectorial tiene una distribución normal univariada. En el caso más simple, no existe ninguna correlación entre las variables, y los elementos de los vectores son variables aleatorias univariadas independientes normales.

Debido a que es fácil trabajar con, la distribución normal multivariada se utiliza a menudo como un modelo para datos multivariados.

proporciona varias funcionalidades relacionadas con la distribución normal multivariada.Statistics and Machine Learning Toolbox™

  • Genere números aleatorios de la distribución utilizando.mvnrnd

  • Evalúe la función de densidad de probabilidad (pdf) con valores específicos.mvnpdf

  • Evalúe la función de distribución acumulativa (CDF) con valores específicos utilizando.mvncdf

Parámetros

La distribución normal multivariada utiliza los parámetros de esta tabla.

ParámetroDescripciónUnivariate análogo normal
μVector medioMedia (escalar)μ
ΣMatriz de covarianza: los elementos diagonales contienen las varianzas para cada variable y los elementos fuera de la diagonal contienen las covarianzas entre las variablesVarianzaσ2 escalar

Tenga en cuenta que en el caso unidimensional, es la varianza, no la desviación estándar.Σ Para obtener más información sobre los parámetros de la distribución normal univariada, véase.Parámetros

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución normal multivariada dimensional esd

y = f(x,μ,Σ) = 1|Σ|(2π)dexp(12(x-μΣ-1(x-μ)')

donde y son 1 por vectores y es un-por-simétrico, matriz definida positiva.xμdΣdd

Tenga en cuenta que:Statistics and Machine Learning Toolbox

  • Soporta singular solo para generación vectorial aleatoria.Σ El PDF no se puede escribir en la misma forma cuando es singular.Σ

  • Utiliza y orienta como vectores de fila en lugar de vectores de columna.xμ

Para ver un ejemplo, vea.PDF de distribución normal bivariada

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa normal multivariada (CDF) evaluada en se define como la probabilidad de que un vector aleatorio, distribuido como normal multivariante, se encuentra dentro del rectángulo semi-infinito con límites superiores definidos por,xvx

Pr{v(1)x(1),v(2)x(2),...,v(d)x(d)}.

Aunque el CDF normal multivariado no tiene forma cerrada, puede calcular valores CDF numéricamente.mvncdf

Para ver un ejemplo, vea.Distribución normal bivariada CDF

Ejemplos

PDF de distribución normal bivariada

Calcule y trace el PDF de una distribución normal bivariada con parámetros y.mu = [0 0]sigma = [0.25 0.3; 0.3 1]

Defina los parámetros y.musigma

mu = [0 0]; sigma = [0.25 0.3; 0.3 1];

Cree una rejilla de puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

x1 = -3:0.2:3; x2 = -3:0.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); X = [X1(:) X2(:)];

Evalúe el PDF de la distribución normal en los puntos de la cuadrícula.

y = mvnpdf(X,mu,sigma); y = reshape(y,length(x2),length(x1));

Graficar los valores PDF.

surf(x1,x2,y) caxis([min(y(:))-0.5*range(y(:)),max(y(:))]) axis([-3 3 -3 3 0 0.4]) xlabel('x1') ylabel('x2') zlabel('Probability Density')

Distribución normal bivariada CDF

Calcule y trace la CDF de una distribución normal bivariada.

Defina el vector medio y la matriz de covarianza.musigma

mu = [1 -1]; sigma = [.9 .4; .4 .3];

Cree una rejilla de 625 puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

[X1,X2] = meshgrid(linspace(-1,3,25)',linspace(-3,1,25)'); X = [X1(:) X2(:)];

Evalúe la CDF de la distribución normal en los puntos de la rejilla.

p = mvncdf(X,mu,sigma);

Trace los valores de CDF.

Z = reshape(p,25,25); surf(X1,X2,Z)

Probabilidad sobre región rectangular

Calcule la probabilidad sobre el cuadrado unitario de una distribución normal bivariada y cree una gráfica de contorno de los resultados.

Defina los parámetros de distribución normal bivariada y.musigma

mu = [0 0]; sigma = [0.25 0.3; 0.3 1];

Calcule la probabilidad sobre el cuadrado de la unidad.

p = mvncdf([0 0],[1 1],mu,sigma)
p = 0.2097 

Para visualizar el resultado, primero cree una rejilla de puntos espaciados uniformemente en el espacio bidimensional.

x1 = -3:.2:3; x2 = -3:.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); X = [X1(:) X2(:)];

A continuación, evalúe el PDF de la distribución normal en los puntos de la cuadrícula.

y = mvnpdf(X,mu,sigma); y = reshape(y,length(x2),length(x1));

Por último, cree una gráfica de contorno de la distribución normal multivariada que incluya el cuadrado de la unidad.

contour(x1,x2,y,[0.0001 0.001 0.01 0.05 0.15 0.25 0.35]) xlabel('x') ylabel('y') line([0 0 1 1 0],[1 0 0 1 1],'Linestyle','--','Color','k')

Calcular una probabilidad acumulada multivariada requiere mucho más trabajo que calcular una probabilidad univariada. De forma predeterminada, la función calcula los valores a una precisión inferior a la de la máquina completa y devuelve una estimación del error como una segunda salida opcional.mvncdf Vea la estimación del error en este caso.

[p,err] = mvncdf([0 0],[1 1],mu,sigma)
p = 0.2097 
err = 1.0000e-08 

Referencias

[1] Kotz, S., N. Balakrishnan, and N. L. Johnson. Continuous Multivariate Distributions: Volume 1: Models and Applications. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2000.

Consulte también

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