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Distribución estable

Visión general

Las distribuciones estables son una clase de distribuciones de probabilidad adecuadas para modelar colas pesadas y asimetría. Una combinación lineal de dos variables aleatorias distribuidas de forma independiente, distribuidas de manera idéntica, tiene la misma distribución que las variables individuales. En otras palabras, si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias estables, independientes y distribuidas idénticamente, para cadan

X1+X2++Xn=dcnX+dn

donde la constante cn > 0 Y dn.

La distribución estable es una aplicación del teorema de límite central generalizado, que indica que el límite de las sumas normalizadas de las variables distribuidas idénticamente independientes es estable.

Existen varias parametrizaciones diferentes para la distribución estable. La implementación en utiliza la parametrización descrita en.Statistics and Machine Learning Toolbox™[2] En este caso, una variable aleatoria tiene la distribución estableX S(α,β,γ,δ0;0) Si su función característica viene dada por:

E(eitX)={exp(γα|t|α[1+iβsign(t)tanπα2((γ|t|)1α1)]+iδ0t)forα1,exp(γ|t|[1+iβsign(t)2πln(γ|t|)]+iδ0t)forα=1

Parámetros

La distribución estable utiliza los siguientes parámetros.

ParámetroDescripciónApoyo
alphaPrimer parámetro de forma0 < α ≤ 2
BetaSegundo parámetro de forma-1 ≤ β ≤ 1
gamParámetro de escala0 < γ < ∞
deltaParámetro de ubicación-∞ < δ < ∞

El primer parámetro de forma, α, describe las colas de la distribución. El software calcula las densidades de la distribución estable utilizando el método de integración directa. Como se explica en, existen dificultades numéricas con la computación precisa del pdf y CDF cuando el parámetro α está cerca de 1 o 0.[1] Si α está cerca de 1 (concretamente, 0<|α1|<0.02), entonces el software redondea α a 1. Si α está cerca de 0, es posible que las densidades no sean precisas.

El segundo parámetro de forma, β, describe la asimetría de la distribución. Si β = 0, la distribución es simétrica. Si β > 0, la distribución se sesgada a la derecha. Si β < 0, la distribución se sesgada a la izquierda. Cuando el α es pequeño, la asimetría de β es significativa. A medida que el α aumenta, el efecto de β disminuye.

Función de densidad de probabilidad

Definición

La mayoría de los miembros de la familia de distribución estable no tienen una función de densidad de probabilidad explícita (pdf). En su lugar, el PDF se describe en términos de la función característica.[2]

Algunos casos especiales de distribución estable, como las distribuciones normal, Cauchy y Lévy, tienen funciones de densidad de forma cerrada. Consulte para obtener más información.Relación con otras distribuciones

Se utiliza para calcular la función de densidad de probabilidad para la distribución estable.pdf El software calcula el PDF utilizando el método de integración directa. Como se explica en, existen dificultades numéricas con la computación precisa del pdf cuando el parámetro α está cerca de 1 o 0.[1] Si α está cerca de 1 (concretamente, 0<|α1|<0.02), entonces el software redondea α a 1. Si α está cerca de 0, es posible que las densidades no sean precisas.

Compara PDFs de distribuciones estables

La siguiente gráfica compara las funciones de densidad de probabilidad para distribuciones estables con valores diferentes.alpha En cada caso,,, y.beta = 0gam = 1delta = 0

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Calcule el PDF para cada distribución.

x = -5:.1:5; pdf1 = pdf(pd1,x); pdf2 = pdf(pd2,x); pdf3 = pdf(pd3,x);

Trace las tres funciones PDF en la misma figura para la comparación visual.

figure plot(x,pdf1,'b-'); hold on plot(x,pdf2,'r-.'); plot(x,pdf3,'k--'); title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots') legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest') hold off

La gráfica ilustra el efecto del parámetro en las colas de la distribución.alpha

La siguiente gráfica compara las funciones de densidad de probabilidad para distribuciones estables con valores diferentes.Beta En cada caso,,, y.alpha = 0.5gam = 1delta = 0

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0); pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Calcule el PDF para cada distribución.

x = -5:.1:5; pdf1 = pdf(pd1,x); pdf2 = pdf(pd2,x); pdf3 = pdf(pd3,x);

Trace las tres funciones PDF en la misma figura para la comparación visual.

figure plot(x,pdf1,'b-'); hold on plot(x,pdf2,'r-.'); plot(x,pdf3,'k--'); title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots') legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest') hold off

Generación aleatoria de números

Se utiliza para generar números aleatorios a partir de la distribución estable.Aleatorio El software genera números aleatorios para la distribución estable utilizando el método propuesto en[3]

Función de distribución acumulativa

Definición

La mayoría de los miembros de la familia de distribución estable no tienen una función de distribución acumulativa explícita (CDF). En su lugar, la CDF se describe en términos de la función característica.[2]

Se utiliza para calcular la función de distribución acumulativa para la distribución estable.cdf El software computa la CDF utilizando el método de integración directa. Como se explica en, existen dificultades numéricas con la computación precisa de la CDF cuando el parámetro α está cerca de 1 o 0.[1] Si α está cerca de 1 (concretamente, 0<|α1|<0.02), entonces el software redondea α a 1. Si α está cerca de 0, es posible que las densidades no sean precisas.

Compare CDFs de distribuciones estables

La siguiente gráfica compara las funciones de distribución acumuladas para distribuciones estables con valores diferentes.alpha En cada caso,,, y.beta = 0gam = 1delta = 0

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Calcule la CDF para cada distribución.

x = -5:.1:5; cdf1 = cdf(pd1,x); cdf2 = cdf(pd2,x); cdf3 = cdf(pd3,x);

Trace las tres funciones CDF en la misma figura para la comparación visual.

figure plot(x,cdf1,'b-'); hold on plot(x,cdf2,'r-.'); plot(x,cdf3,'k--'); title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots') legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest') hold off

La gráfica ilustra el efecto del parámetro en la forma de la CDF.alpha

La siguiente gráfica compara las funciones de distribución acumulativas para distribuciones estables con valores diferentes.Beta En todos los casos, y.alpha = 0.5gam = 1delta = 0

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0); pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Calcule la CDF para cada distribución.

x = -5:.1:5; cdf1 = cdf(pd1,x); cdf2 = cdf(pd2,x); cdf3 = cdf(pd3,x);

Trace las tres funciones PDF en la misma figura para la comparación visual.

figure plot(x,cdf1,'b-'); hold on plot(x,cdf2,'r-.'); plot(x,cdf3,'k--'); title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots') legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest') hold off

Estadística descriptiva

La media de la distribución estable no está definida para los valores de α ≤ 1. Para α > 1, la media de la distribución estable es

mean=δβγtan(πα2).

Se utiliza para calcular la media de la distribución estable.mean

La varianza de la distribución estable no está definida para los valores de α < 2. Para α = 2, la varianza de la distribución estable es

var=2γ2.

Se utiliza para calcular la varianza de la distribución estable.var

Relación con otras distribuciones

La distribución estable tiene tres casos especiales: La distribución normal, la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy. Estas distribuciones son notables porque tienen funciones de densidad de probabilidad de forma cerrada.

Distribución normal

La distribución normal, o gaussiana, es un caso especial de la distribución estable. La distribución estable con α = 2 corresponde a la distribución normal. En otras palabras,

N(μ,σ2)=S(2,0,σ2,μ).

es la media y es la desviación estándar de la distribución normal.μσ

Aunque el valor de no tiene ningún efecto cuandoβ α = 2, la distribución normal suele asociarse con β= 0.

La función de densidad de probabilidad para la distribución normal es

f(x)=12πσexp((xμ)22σ2),<x<.

Una gráfica de la densidad para una distribución normal es simétrica y tiene una curva en forma de campana.

Distribución Cauchy

La distribución de Cauchy es un caso especial de la distribución estable con α = 1 Y β = 0. En otras palabras,

Cauchy(δ,γ)=S(1,0,γ,δ),

donde γ es el parámetro de escala y δ es el parámetro de ubicación de la distribución de Cauchy.

La función de densidad de probabilidad para la distribución de Cauchy es

f(x)=1πγγ2+(xδ)2,<x<.

Una trama de la densidad para una distribución de Cauchy es simétrica y tiene una curva en forma de campana, pero tiene colas más pesadas que la densidad de una distribución normal.

Lévy Distribution

La distribución de Lévy es un caso especial de la distribución estable donde α = 0.5 Y β = 1. En otras palabras,

Lévy(δ,γ)=S(0.5,1,γ,γ+δ).

donde γ es el parámetro de escala y δ es el parámetro de ubicación de la distribución Lévy.

La función de densidad de probabilidad para la distribución de Lévy es

f(x)=γ2π1(xδ)3/2exp(γ2(xδ)),δ<x<.

Una trama de la densidad para una distribución Lévy es muy sesgada y tiene colas pesadas.

Gráfica comparativa para distribuciones estables

La siguiente gráfica compara las funciones de densidad de probabilidad para las distribuciones estándar normal, Cauchy y Lévy.

Cree un objeto de distribución de probabilidad para las distribuciones estándar normal, Cauchy y Lévy.

pd_norm = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1/sqrt(2),'delta',0); pd_cauchy = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0); pd_levy = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Calcule el PDF para cada distribución.

x = -5:.1:5; pdf_norm = pdf(pd_norm,x); pdf_cauchy = pdf(pd_cauchy,x); pdf_levy = pdf(pd_levy,x);

Trace las tres funciones PDF en la misma figura para la comparación visual.

figure plot(x,pdf_norm,'b-'); hold on plot(x,pdf_cauchy,'r.'); plot(x,pdf_levy,'k--'); title('Compare Stable Distributions pdf Plots') legend('Normal','Cauchy','Levy','Location','northwest') hold off

Referencias

[1] Nolan, J.P. “Numerical calculation of stable densities and distribution functions.” Communications in Statistics: Stochastic Models. Vol. 13, No. 4, 1997, pp. 759–774.

[2] Nolan, J.P. Stable Distributions Models for Heavy Tailed Data. 2015. Note: In progress online.

[3] Weron, A. and R. Weron. “Computer simulation of Lévy α-stable variables and processes.” Lecture Notes in Physics. Vol. 457, 1995, pp. 379–392.

Consulte también

Temas relacionados