rlocus

Gráfica del lugar de las raíces del sistema dinámico

Sintaxis

rlocus(sys)

rlocus(sys1,sys2,...)

[r,k] = rlocus(sys)

r = rlocus(sys,k)

Descripción

rlocus(sys) calcula y representa el lugar de las raíces del modelo SISO sys. El lugar de las raíces devuelve las trayectorias de los polos de lazo cerrado como una función de la ganancia de feedback k (suponiendo un feedback negativo). Los lugares de raíces se utilizan para estudiar los efectos de la variación de las ganancias de feedback en las ubicaciones de los polos de lazo cerrado. Por su parte, estas ubicaciones proporcionan información indirecta sobre las respuestas en el tiempo y en la frecuencia.

rlocus se puede utilizar para representar el diagrama de lugares de raíces de cualquiera de los siguientes lazos de feedback negativos configurando sys tal y como se muestra a continuación:

Por ejemplo, si sys es una función de transferencia representada por

$$sys\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)}$$

los polos de lazo cerrado son las raíces de

$$d(s)+kn(s)=0$$

La gráfica del lugar de las raíces representa las trayectorias de los polos de lazo cerrado cuando la ganancia de feedback k varía de 0 a infinito. rlocus selecciona de forma adaptativa un conjunto de ganancias positivas k para generar una gráfica suave. Los polos en la gráfica del lugar de las raíces se representan con x y los ceros con o.

rlocus(sys1,sys2,...) representa los lugares de raíces de múltiples modelos LTI sys1, sys2,... en una sola gráfica. Puede especificar un color, un estilo de línea y un marcador para cada modelo. Para ver más opciones de personalización de gráficas, consulte rlocusplot.

[r,k] = rlocus(sys) devuelve el vector de ganancias de feedback k y las ubicaciones de raíces complejas r para estas ganancias.

r = rlocus(sys,k) utiliza el vector de ganancias de feedback k especificado por el usuario para dar salida a los polos de lazo cerrado r que definen la gráfica del lugar de las raíces.

Ejemplos

Gráfica del lugar de las raíces del sistema dinámico

Para este ejemplo, represente el lugar de las raíces del siguiente sistema dinámico SISO:

$$sys(s)=\frac{2s^2+5s+1}{s^2+2s+3}.$$

sys = tf([2 5 1],[1 2 3]);
rlocus(sys)

Los polos del sistema se representan con x, mientras que los ceros se representan con o en la gráfica del lugar de las raíces. Puede utilizar el menú de la gráfica del lugar de las raíces generada para añadir líneas de cuadrícula, hacer zoom y utilizar el editor de propiedades para personalizar la gráfica.

Para ver más opciones de personalización de gráficas, utilice rlocusplot.

Diagrama del lugar de las raíces de modelos de sistemas dinámicos múltiples

Para este ejemplo, considere sisoModels.mat, que contiene los siguientes tres modelos SISO:

• sys1 $$-$$ un modelo de función de transferencia

• sys2 $$-$$ un modelo de espacio de estados

• sys3 $$-$$ un modelo de cero-polo-ganancia

Cargue los modelos desde el archivo mat.

load('sisoModels.mat','sys1','sys2','sys3');

Cree la gráfica del lugar de las raíces utilizando rlocus y especifique el color de cada sistema. Añada también una leyenda a la gráfica del lugar de las raíces.

rlocus(sys1,'b',sys2,'k',sys3,'r')
hold on
legend('sys1','sys2','sys3')
hold off

La figura contiene diagramas del lugar de las raíces para los tres sistemas en la misma gráfica. Para ver más opciones de personalización de gráficas, consulte rlocusplot.

Polos de lazo cerrado y valores de ganancia de feedback usando el lugar de las raíces

Para este ejemplo, considere el siguiente modelo de función de transferencia SISO:

$$sys(s)=\frac{3s^2+1}{9s^3+7s^2+5s+6}$$

Utilice el modelo de función de transferencia anterior con rlocus para extraer los polos de lazo cerrado y los valores de ganancia de feedback asociados.

sys = tf([3 0 1],[9 7 5 6]);
[r,k] = rlocus(sys)

r = 3×53 complex
102 ×

  -0.0094 + 0.0000i  -0.0104 + 0.0000i  -0.0105 + 0.0000i  -0.0106 + 0.0000i  -0.0107 + 0.0000i  -0.0108 + 0.0000i  -0.0109 + 0.0000i  -0.0111 + 0.0000i  -0.0112 + 0.0000i  -0.0113 + 0.0000i  -0.0115 + 0.0000i  -0.0117 + 0.0000i  -0.0119 + 0.0000i  -0.0121 + 0.0000i  -0.0124 + 0.0000i  -0.0126 + 0.0000i  -0.0129 + 0.0000i  -0.0132 + 0.0000i  -0.0135 + 0.0000i  -0.0139 + 0.0000i  -0.0143 + 0.0000i  -0.0148 + 0.0000i  -0.0152 + 0.0000i  -0.0158 + 0.0000i  -0.0163 + 0.0000i  -0.0170 + 0.0000i  -0.0177 + 0.0000i  -0.0184 + 0.0000i  -0.0192 + 0.0000i  -0.0201 + 0.0000i  -0.0211 + 0.0000i  -0.0222 + 0.0000i  -0.0233 + 0.0000i  -0.0246 + 0.0000i  -0.0259 + 0.0000i  -0.0274 + 0.0000i  -0.0290 + 0.0000i  -0.0307 + 0.0000i  -0.0326 + 0.0000i  -0.0346 + 0.0000i  -0.0368 + 0.0000i  -0.0392 + 0.0000i  -0.0418 + 0.0000i  -0.0446 + 0.0000i  -0.0476 + 0.0000i  -0.0508 + 0.0000i  -0.0543 + 0.0000i  -0.0582 + 0.0000i  -0.0623 + 0.0000i  -0.0667 + 0.0000i
   0.0008 + 0.0084i   0.0006 + 0.0083i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0006 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0082i   0.0005 + 0.0081i   0.0005 + 0.0081i   0.0004 + 0.0081i   0.0004 + 0.0081i   0.0004 + 0.0080i   0.0004 + 0.0080i   0.0003 + 0.0080i   0.0003 + 0.0080i   0.0003 + 0.0079i   0.0002 + 0.0079i   0.0002 + 0.0078i   0.0002 + 0.0078i   0.0002 + 0.0078i   0.0001 + 0.0077i   0.0001 + 0.0077i   0.0001 + 0.0076i   0.0000 + 0.0076i   0.0000 + 0.0075i  -0.0000 + 0.0074i  -0.0000 + 0.0074i  -0.0000 + 0.0073i  -0.0001 + 0.0073i  -0.0001 + 0.0072i  -0.0001 + 0.0071i  -0.0001 + 0.0071i  -0.0001 + 0.0070i  -0.0001 + 0.0070i  -0.0001 + 0.0069i  -0.0001 + 0.0068i  -0.0001 + 0.0068i  -0.0001 + 0.0067i  -0.0001 + 0.0067i  -0.0001 + 0.0066i  -0.0001 + 0.0066i  -0.0001 + 0.0065i  -0.0001 + 0.0065i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0064i  -0.0001 + 0.0063i  -0.0001 + 0.0063i
   0.0008 - 0.0084i   0.0006 - 0.0083i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0006 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0082i   0.0005 - 0.0081i   0.0005 - 0.0081i   0.0004 - 0.0081i   0.0004 - 0.0081i   0.0004 - 0.0080i   0.0004 - 0.0080i   0.0003 - 0.0080i   0.0003 - 0.0080i   0.0003 - 0.0079i   0.0002 - 0.0079i   0.0002 - 0.0078i   0.0002 - 0.0078i   0.0002 - 0.0078i   0.0001 - 0.0077i   0.0001 - 0.0077i   0.0001 - 0.0076i   0.0000 - 0.0076i   0.0000 - 0.0075i  -0.0000 - 0.0074i  -0.0000 - 0.0074i  -0.0000 - 0.0073i  -0.0001 - 0.0073i  -0.0001 - 0.0072i  -0.0001 - 0.0071i  -0.0001 - 0.0071i  -0.0001 - 0.0070i  -0.0001 - 0.0070i  -0.0001 - 0.0069i  -0.0001 - 0.0068i  -0.0001 - 0.0068i  -0.0001 - 0.0067i  -0.0001 - 0.0067i  -0.0001 - 0.0066i  -0.0001 - 0.0066i  -0.0001 - 0.0065i  -0.0001 - 0.0065i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0064i  -0.0001 - 0.0063i  -0.0001 - 0.0063i

k = 1×53

         0    0.4201    0.4542    0.4911    0.5309    0.5740    0.6205    0.6709    0.7253    0.7841    0.8477    0.9165    0.9908    1.0712    1.1581    1.2521    1.3536    1.4634    1.5822    1.7105    1.8493    1.9993    2.1614    2.3368    2.5263    2.7313    2.9529    3.1924    3.4514    3.7313    4.0340    4.3613    4.7151    5.0975    5.5111    5.9581    6.4415    6.9640    7.5289    8.1397    8.8000    9.5138   10.2856   11.1200   12.0220   12.9973   14.0516   15.1915   16.4238   17.7561

Como sys contiene tres polos, el tamaño del arreglo de polos r resultante es 3x53. Cada columna de r corresponde a un valor de ganancia del vector k. Para este ejemplo, rlocus eligió automáticamente 53 valores de k de cero a infinito para obtener una trayectoria suave para los tres polos de lazo cerrado.

display(r(:,39))

  -3.2585 + 0.0000i
  -0.0145 + 0.6791i
  -0.0145 - 0.6791i

display(k(39))

    7.5289

Por ejemplo, r(:,39) contiene los polos de lazo cerrado anteriores para un valor de ganancia de feedback de 7.5289.

Ubicaciones de los polos de lazo cerrado para un conjunto de valores de ganancia de feedback

Para este ejemplo, considere el siguiente modelo de función de transferencia SISO:

$$sys(s)=\frac{0.5s^2-1}{4s^4+3s^2+2}$$

Defina el modelo de función de transferencia y el vector necesario de valores de ganancia de feedback. Para este ejemplo, considere un conjunto de valores de ganancia que varíen de 1 a 8 con incrementos de 0,5 y extraiga las ubicaciones de los polos de lazo cerrado utilizando rlocus.

sys = tf([0.5 0 -1],[4 0 3 0 2]);
k = (1:0.5:5);
r = rlocus(sys,k);
size(r)

ans = 1×2

     4     9

Dado que sys contiene cuatro polos de lazo cerrado, el tamaño del arreglo de ubicaciones de polos cerrados r resultante es 4x9, donde las nueve columnas corresponden a los nueve valores de ganancia específicos definidos en k.

También se puede visualizar la trayectoria de los polos de lazo cerrado para los valores específicos de ganancia en k en la gráfica del lugar de las raíces.

rlocus(sys,k)

Argumentos de entrada

sys — Sistema dinámico SISO

Objeto tf | Objeto ss | Objeto zpk

Sistema dinámico SISO, especificado como una de las siguientes opciones:

• Modelos LTI numéricos de tiempo continuo o de tiempo discreto, como modelos tf, zpk o ss.

• Modelos LTI generalizados o con incertidumbre, como modelos genss o uss (Robust Control Toolbox). El uso de modelos con incertidumbre requiere Robust Control Toolbox™.

  rlocus asume:

  • valores actuales de los componentes ajustables para los bloques de diseño de control ajustables.

  • valores nominales del modelo para los bloques de diseño de control con incertidumbre.

• Modelos LTI identificados, como modelos idtf (System Identification Toolbox), idss (System Identification Toolbox), idproc (System Identification Toolbox), idpoly (System Identification Toolbox) y idgrey (System Identification Toolbox). El uso de modelos identificados requiere System Identification Toolbox™.

k — Valores de ganancia de feedback

vector

Valores de ganancia de feedback que conciernen a las ubicaciones de los polos, especificados como un vector. Las ganancias de feedback definen la trayectoria de los polos, afectando así el formato de la gráfica del lugar de las raíces.

Argumentos de salida

r — Ubicación de polos de lazo cerrado

Arreglo de n por m

Ubicaciones de los polos de lazo cerrado de sys correspondientes a cada valor en k, devueltos como un arreglo de n por m, donde n es el número de polos de lazo cerrado de sys y m = max(length(k)).

k — Valores de ganancia de feedback

vector

Valores de ganancia de feedback que conciernen a las ubicaciones de los polos, devueltos como un vector. Las ganancias de feedback definen la trayectoria de los polos, afectando así el formato de la gráfica del lugar de las raíces. Cuando el usuario no define k, rlocus selecciona de forma adaptativa un conjunto de ganancias k positivas entre cero e infinito para producir una gráfica suave.

Sugerencias

• Para una aproximación interactiva a la gráfica del lugar de las raíces, consulte Control System Designer.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

rlocusplot | tf | pole | zero | ss | zpk | Control System Designer

Temas

• Root Locus Design
• Control de un péndulo invertido en un carro
• Control de motores de CC