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sigma

Gráfica de valores singulares de un sistema dinámico

Sintaxis

sigma(sys)

sigma(sys1,sys2,...,sysN)

sigma(sys1,LineSpec1,...,sysN,LineSpecN)

sigma(___,w)

sigma(___,type)

[sv,wout] = sigma(sys)

[sv,wout] = sigma(sys,w)

Descripción

sigma(sys) representa los valores singulares de la respuesta en frecuencia de un modelo de sistema dinámico sys. sigma determina automáticamente las frecuencias para representar en función de la dinámica del sistema.

Si sys es un modelo de una única entrada y una única salida (SISO), la gráfica de valores singulares es entonces similar a su respuesta de la magnitud de Bode.

Si sys es un modelo de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) con Nu entradas y Ny salidas, la gráfica de valores singulares muestra min(Nu,Ny) líneas en la gráfica correspondiente a cada valor singular de la matriz de respuesta en frecuencia. En los sistemas MIMO, la gráfica de valores singulares amplía la respuesta de la magnitud de Bode y resulta útil en el análisis de robustez.

Si sys es un modelo con coeficientes complejos, entonces:

• En la escala de frecuencia logarítmica, el diagrama muestra dos ramas, una para frecuencias positivas y otra para frecuencias negativas. El diagrama también muestra flechas que indican la dirección de los valores de frecuencia que aumentan para cada rama. Consulte Gráfica de valores singulares de un modelo con coeficientes complejos.

• La escala de frecuencia lineal, el diagrama muestra una única rama con un rango de frecuencia simétrico centrado en un valor de frecuencia de cero.

sigma(sys1,sys2,...,sysN) representa los valores singulares de respuesta de varios sistemas dinámicos en la misma gráfica. Todos los sistemas deben contar con el mismo número de entradas y salidas.

sigma(sys1,LineSpec1,...,sysN,LineSpecN) especifica un color, un estilo de línea y un marcador para cada sistema de la gráfica.

sigma(___,w) representa valores singulares de la respuesta de sistema para frecuencias especificadas por w.

• Si w es un arreglo de celdas en formato {wmin,wmax}, entonces sigma representa la respuesta en frecuencias entre wmin y wmax.

• Si w es un vector de frecuencias, entonces sigma representa la respuesta en cada frecuencia especificada. El vector w puede contener frecuencias negativas y positivas.

Puede utilizar w con cualquiera de las combinaciones de entrada/argumento de sintaxis anteriores.

sigma(___,type) representa las respuestas de los valores singulares modificadas en función del argumento type. Especifique type de la siguiente manera:

• 1 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia H^-1, donde H es la respuesta en frecuencia de sys.

• 2 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia I+H.

• 3 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia I+H^-1.

Solo puede utilizar el argumento type para sistemas cuadrados, es decir, los sistemas que cuenten con el mismo número de entradas y salidas.

[sv,wout] = sigma(sys) devuelve los valores singulares de la respuesta en cada frecuencia del vector wout. La salida sv es una matriz y el valor sv(:,k) proporciona los valores singulares en un orden descendente en la frecuencia wout(k). La función determina automáticamente frecuencias de wout en función de la dinámica del sistema. Esta sintaxis no crea una gráfica.

[sv,wout] = sigma(sys,w) devuelve los valores singulares sv en las frecuencias especificadas por w.

• Si w es un arreglo de celdas en formato {wmin,wmax}, entonces wout contiene frecuencias entre wmin y wmax.

• Si w es un vector de frecuencias, entonces wout = w.

Ejemplos

Gráfica de valores singulares de un sistema dinámico

Cree una gráfica de valores singulares del siguiente sistema dinámico SISO de tiempo continuo.

$$\mathit{H}\left(\mathit{s}\right)=\frac{{\mathit{s}}^2+0.1\mathit{s}+7.5}{{\mathit{s}}^4+0.12{\mathit{s}}^3+9{\mathit{s}}^2}$$

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
sigma(H)

sigma selecciona automáticamente el rango del diagrama en función de la dinámica del sistema.

Gráfica sigma en frecuencias especificadas

Cree una gráfica de valores singulares sobre un rango de frecuencia especificado. Utilice este enfoque cuando desee centrarse en la dinámica de un rango de frecuencia en particular.

H = tf([-0.1,-2.4,-181,-1950],[1,3.3,990,2600]);
sigma(H,{1,100})
grid on

El arreglo de celdas {1,100} especifica el valor de frecuencia mínimo y máximo de la gráfica. Cuando establece límites de frecuencia de esta manera, la función selecciona los puntos intermedios para los datos de respuesta en frecuencia.

Como alternativa, especifique un vector de puntos de frecuencia para utilizar cuando evalúe y represente la respuesta en frecuencia.

w = [1 5 10 15 20 23 31 40 44 50 85 100];
sigma(H,w,'.-')
grid on

sigma representa la respuesta en frecuencia solo en las frecuencias especificadas.

Comparar gráficas de valores singulares de varios sistemas dinámicos

Compare la respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo continuo con un sistema discretizado equivalente en la misma gráfica de valores singulares.

Cree sistemas dinámicos de tiempo continuo y tiempo discreto.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
Hd = c2d(H,0.5,'zoh');

Cree una gráfica que muestre ambos sistemas.

sigma(H,Hd)

La gráfica sigma de un sistema de tiempo discreto incluye una línea vertical que marca la frecuencia Nyquist del sistema.

Gráfica de valores singulares con atributos de línea especificados

Especifique el estilo de línea, el color o el marcador en cada sistema de una gráfica sigma utilizando el argumento de entrada LineSpec.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
Hd = c2d(H,0.5,'zoh');
sigma(H,'r',Hd,'b--')

La primera LineSpec, 'r', especifica una línea continua roja para la respuesta de H. La segunda LineSpec, 'b--', especifica una línea discontinua azul para la respuesta de Hd.

Obtener datos de valores singulares

Calcule los valores singulares de la respuesta en frecuencia de un sistema SISO.

Si no especifica frecuencias, sigma elige frecuencias en función de la dinámica del sistema y las devuelve en el segundo argumento de salida.

H = tf([1 0.1 7.5],[1 0.12 9 0 0]);
[sv,wout] = sigma(H);

Dado que H es un modelo SISO, la primera dimensión de sv es 1. La segunda dimensión es el número de frecuencias de wout.

size(sv)

ans = 1×2

     1    40

length(wout)

ans = 40

De este modo, cada entrada a lo largo de la segunda dimensión de sv proporciona los valores singulares de la respuesta en la correspondiente frecuencia de wout.

Valores singulares de un sistema MIMO

Para este ejemplo, cree un sistema de dos salidas y tres entradas.

rng(0,'twister'); % For reproducibility
H = rss(4,2,3);

En este sistema, sigma representa los valores singulares de la matriz de la respuesta en frecuencia en la misma gráfica.

sigma(H)

Calcule los valores singulares en 20 frecuencias entre 1 y 10 radianes.

w = logspace(0,1,20);
sv = sigma(H,w);

sv es una matriz, en la que las filas se corresponden con los valores singulares de la matriz de respuesta en frecuencia y las columnas son valores de frecuencia. Examine las dimensiones.

size(sv)

ans = 1×2

     2    20

De este modo, por ejemplo, sv(:,10) son los valores singulares de la respuesta calculados en la 10.ª frecuencia de w.

Calcular y representar valores singulares

Considere el siguiente sistema dinámico de dos entradas y dos salidas.

$$H(s)=\left[\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{3s}{s^2+s+10}}\\ {\displaystyle \frac{s+1}{s+5}}& {\displaystyle \frac{2}{s+6}}\end{array}\right].$$

Calcule las respuestas de valores singulares de H(s) e I + H(s).

H = [0, tf([3 0],[1 1 10]) ; tf([1 1],[1 5]), tf(2,[1 6])];
[svH,wH] = sigma(H);
[svIH,wIH] = sigma(H,[],2);

En el último comando, la entrada 2 selecciona el segundo tipo de respuesta: I + H(s). Los vectores svH y svIH contienen los datos de respuesta de los valores singulares en las frecuencias en wH y wIH.

Represente las respuestas de los valores singulares de ambos sistemas.

subplot(211)
sigma(H)
subplot(212)
sigma(H,[],2)

Gráfica de valores singulares de un modelo con coeficientes complejos

Cree una gráfica de valores singulares de un modelo con coeficientes complejos y un modelo con coeficientes reales en la misma gráfica.

rng(0)
A = [-3.50,-1.25-0.25i;2,0];
B = [1;0];
C = [-0.75-0.5i,0.625-0.125i];
D = 0.5;
Gc = ss(A,B,C,D);
Gr = rss(4);
sigma(Gc,Gr)
legend('Complex-coefficient model','Real-coefficient model')

En la escala de frecuencia logarítmica, la gráfica muestra dos ramas para modelos con coeficientes complejos, una para las frecuencias positivas, con una flecha que apunta hacia la derecha, y otra para las frecuencias negativas, con una flecha que apunta hacia la izquierda. En ambas ramas, las flechas indican la dirección de las frecuencias que aumentan. Las gráficas para modelos con coeficientes reales siempre contienen una única rama sin flechas.

Puede modificar la escala de frecuencia de la gráfica haciendo clic con el botón secundario en la gráfica y seleccionando Properties. En el diálogo del editor de propiedades, en la pestaña Units, establezca la escala de frecuencia en linear scale. Como alternativa, puede utilizar la función sigmaplot con un objeto sigmaoptions para crear un diagrama personalizado.

opt = sigmaoptions;
opt.FreqScale = 'Linear';

Cree el diagrama con opciones personalizadas.

sigmaplot(Gc,Gr,opt)
legend('Complex-coefficient model','Real-coefficient model')

En la escala de frecuencia lineal, el diagrama muestra una única rama con un rango de frecuencia simétrico centrado en un valor de frecuencia de cero. La gráfica también muestra la respuesta en frecuencia negativa de un modelo con coeficientes reales cuando representa la respuesta junto con un modelo con coeficientes complejos.

Argumentos de entrada

sys — Sistema dinámico

modelo de sistema dinámico | arreglo de modelos

Sistema dinámico, especificado como un modelo de sistema dinámico SISO o MIMO, o bien un arreglo de modelos de sistemas dinámicos. Se admiten los siguientes tipos de sistemas dinámicos:

• Modelos LTI numéricos de tiempo continuo o de tiempo discreto, como modelos tf, zpk o ss.

• Modelos LTI generalizados o con incertidumbre, como modelos genss o uss (Robust Control Toolbox). El uso de modelos con incertidumbre requiere el software Robust Control Toolbox™.

  • En el caso de los bloques de diseño de control ajustables, la función evalúa el modelo con su valor actual tanto para representar como para devolver los datos de respuesta en frecuencia.

  • En el caso de los bloques de diseño de control con incertidumbre, la función representa el valor nominal y muestras aleatorias del modelo. Cuando utiliza argumentos de salida, la función devuelve únicamente datos de respuesta en frecuencia para el modelo nominal.

• Modelos de datos de respuesta en frecuencia, como modelos frd. En el caso de estos modelos, la función representa la respuesta en frecuencias definidas en el modelo.

• Modelos LTI identificados, como modelos idtf (System Identification Toolbox), idss (System Identification Toolbox) o idproc (System Identification Toolbox). El uso de modelos identificados requiere el software System Identification Toolbox™.

Si sys es un arreglo de modelos, la función representa las respuestas en frecuencia de todos los modelos del arreglo en los mismos ejes.

LineSpec — Estilo de línea, marcador y color

vector de caracteres | cadena

Estilo de línea, marcador y color, especificados como una cadena o vector de uno, dos o tres caracteres. Los caracteres pueden aparecer en cualquier orden. No es necesario que especifique las tres características (estilo de línea, marcador y color). Por ejemplo, si omite el estilo de línea y especifica el marcador, la gráfica mostrará únicamente el marcador y ninguna línea. Para obtener más información sobre cómo configurar este argumento, consulte el argumento de entrada LineSpec de la función plot.

Ejemplo: 'r--' especifica una línea discontinua roja

Ejemplo: '*b' especifica marcadores de asterisco azul

Ejemplo: 'y' especifica una línea amarilla

w — Frecuencias

{wmin,wmax} | vector

Frecuencias en las que calcular y representar la respuesta en frecuencia, especificadas como el arreglo de celdas {wmin,wmax} o como un vector de valores de frecuencia.

• Si w es un arreglo de celdas en formato {wmin,wmax}, entonces la función calcula la respuesta en frecuencias entre wmin y wmax.

• Si w es un vector de frecuencias, entonces la función calcula la respuesta en cada frecuencia especificada. Por ejemplo, utilice logspace para generar un vector fila con valores de frecuencia espaciados logarítmicamente. El vector w puede contener frecuencias positivas y negativas.

En el caso de modelos con coeficientes complejos, si especifica un rango de frecuencia de [w_min,w_max] para su diagrama, entonces en:

• La escala de frecuencia logarítmica, los límites de frecuencia del diagrama están establecidos en [w_min,w_max] y el diagrama muestra dos ramas, una para frecuencias positivas [w_min,w_max] y una para frecuencias negativas [–w_max,–w_min].

• La escala de frecuencia lineal, los límites de frecuencia del diagrama están establecidos en [–w_max,w_max] y el diagrama muestra una única rama con un rango de frecuencia simétrico centrado en un valor de frecuencia de cero.

Especifique frecuencias en unidades de rad/TimeUnit, donde TimeUnit es la propiedad TimeUnit del modelo.

type — Opción para representar valores singulares modificados

1 | 2 | 3

Opción para representar valores singulares modificados, especificados como una de las siguientes opciones:

• 1 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia H^-1, donde H es la respuesta en frecuencia de sys.

• 2 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia I+H.

• 3 para representar los valores singulares de la respuesta en frecuencia I+H^-1.

Solo puede utilizar el argumento type para sistemas cuadrados, es decir, los sistemas que cuenten con el mismo número de entradas y salidas.

Argumentos de salida

sv — Respuesta en frecuencia de valores singulares

matriz

Valores singulares de la respuesta en frecuencia en unidades absolutas, devueltas como una matriz. sv contiene los valores singulares calculados en las frecuencias w si las ha proporcionado, o wout si no lo hizo. En un sistema sys con Nu entradas y Ny salidas, sv cuenta con min(Nu,Ny) filas y tantas columnas como valores en w o wout.

wout — Frecuencias

vector

Frecuencias en las que la función devuelve la respuesta del sistema, devueltas como un vector columna. La función elige los valores de frecuencia en función de la dinámica del modelo, a menos que especifique frecuencias con el argumento de entrada w.

wout también contiene valores de frecuencia negativos para modelos con coeficientes complejos.

Los valores de frecuencia se expresan en radianes por TimeUnit, donde TimeUnit es el valor de la propiedad TimeUnit de sys.

Sugerencias

• Cuando necesite opciones de personalización de gráficas adicionales, utilice en su lugar sigmaplot.

Algoritmos

sigma utiliza la función MATLAB^® de svd para calcular los valores singulares de la respuesta en frecuencia compleja.

• En un modelo frd, sigma calcula los valores singulares de sys.ResponseData en las frecuencias sys.Frequency.

• Para los modelos de tiempo continuo tf, ss o zpk con función de transferencia H(s), sigma calcula los valores singulares de H(jω) como una función de la frecuencia ω.

• En los modelos de tiempo discreto tf, ss o zpk con función de transferencia H(z) y tiempo de muestreo T_s, sigma calcula los valores singulares de

  $$H\left(e^{j\omega T_s}\right)$$

  para frecuencias ω entre 0 y la frecuencia Nyquist ω_N = n/T_s.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

sigmaplot | freqresp | nyquist | bode

Temas

• Frequency-Domain Responses
• Modelos de sistemas dinámicos