normcdf

Función de distribución acumulativa normal

Sintaxis

p = normcdf(x)

p = normcdf(x,mu)

p = normcdf(x,mu,sigma)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov)

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha)

___ = normcdf(___,'upper')

Descripción

p = normcdf(x) devuelve la función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución normal estándar, evaluada en los valores de x.

p = normcdf(x,mu) devuelve la cdf de la distribución normal con la media mu y la desviación estándar de unidad, evaluada en los valores de x.

p = normcdf(x,mu,sigma) devuelve la cdf de la distribución normal con la media mu y la desviación estándar sigma, evaluada en los valores de x.

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov) también devuelve los límites de confianza al 95% [pLo,pUp] de p cuando mu y sigma son estimados. pCov es la matriz de covarianzas de los parámetros estimados.

[p,pLo,pUp] = normcdf(x,mu,sigma,pCov,alpha) especifica el nivel de confianza del intervalo de confianza [pLo,pUp] para que sea 100(1–alpha)%.

___ = normcdf(___,'upper') devuelve el complemento de la cdf, evaluado en los valores de x, mediante un algoritmo que calcula con mayor precisión las probabilidades extremas de la cola superior. 'upper' puede seguir cualquiera de los argumentos de entrada de las sintaxis anteriores.

Ejemplos

Cdf de distribución normal estándar

Calcule la probabilidad de que una observación de una distribución normal estándar quede en el intervalo [–1 1].

p = normcdf([-1 1]);
p(2)-p(1)

ans = 0.6827

Aproximadamente el 68% de las observaciones de una distribución normal quedan dentro de una desviación estándar de la media 0.

Cdf de distribución normal

Calcule los valores de la cdf evaluada en los valores de x para la distribución normal con media de mu y desviación estándar de sigma.

x = [-2,-1,0,1,2];
mu = 2;
sigma = 1;
p = normcdf(x,mu,sigma)

p = 1×5

    0.0000    0.0013    0.0228    0.1587    0.5000

Calcule los valores de la cdf evaluados en cero de varias distribuciones normales con diferentes parámetros de media.

mu = [-2,-1,0,1,2];
sigma = 1;
p = normcdf(0,mu,sigma)

p = 1×5

    0.9772    0.8413    0.5000    0.1587    0.0228

Intervalo de confianza del valor de la cdf normal

Busque las estimaciones de máxima verosimilitud (MLE) de los parámetros de la distribución normal y, a continuación, busque el intervalo de confianza del valor de la cdf correspondiente.

Genere 1000 números aleatorios normales a partir de la distribución normal con media de 5 y desviación estándar de 2.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,n,1);

Busque las MLE para los parámetros de la distribución (media y desviación estándar) usando mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

Estime la covarianza de los parámetros de la distribución usando normlike. La función normlike devuelve una aproximación a la matriz de covarianzas asintóticas si se pasan las MLE y las muestras utilizadas para estimar las MLE.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

Busque el valor de la cdf en cero y su intervalo de confianza del 95%.

[p,pLo,pUp] = normcdf(0,muHat,sigmaHat,pCov)

p = 0.0067

pLo = 0.0047

pUp = 0.0095

p es el valor de la cdf usando la distribución normal con los parámetros muHat y sigmaHat. El intervalo [pLo,pUp] es el intervalo de confianza del 95% de la cdf evaluada en 0, considerando la incertidumbre de muHat y sigmaHat usando pCov. El intervalo de confianza del 95% significa que la probabilidad de que [pLo,pUp] contenga el valor real de la cdf es 0,95.

Cdf complementaria (distribución de colas)

Determine la probabilidad de que una observación de una distribución normal estándar quede en el intervalo [10,Inf].

p1 = 1 - normcdf(10)

p1 = 0

normcdf(10) es casi 1, por lo que p1 se convierte en 0. Especifique 'upper' de modo que normcdf calcule las probabilidades extremas de cola superior con mayor precisión.

p2 = normcdf(10,'upper')

p2 = 7.6199e-24

También puede usar 'upper' para calcular un valor de p de cola derecha.

Prueba de la distribución normal usando un identificador de función

Utilice la función de distribución de probabilidad normcdf como identificador de función en la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado (chi2gof).

Pruebe la hipótesis nula de que los datos de muestra en el vector de entrada x provienen de una distribución normal con parámetros µ y σ iguales a la media (mean) y la desviación estándar (std) de los datos de muestra, respectivamente.

rng('default') % For reproducibility
x = normrnd(50,5,100,1);
h = chi2gof(x,'cdf',{@normcdf,mean(x),std(x)})

h = 0

El resultado devuelto de h = 0 indica que chi2gof no rechaza la hipótesis nula al nivel de significación predeterminado del 5%.

Argumentos de entrada

x — Valores en los que evaluar la cdf

valor de escalar | arreglo de valores de escalar

Valores en los que evaluar la cdf, especificados como un valor de escalar o un arreglo de valores de escalar.

Si especifica pCov para calcular el intervalo de confianza [pLo,pUp], entonces x debe ser un valor de escalar.

Para evaluar la cdf en varios valores, especifique x usando un arreglo. Para evaluar las cdf de varias distribuciones, especifique mu y sigma usando arreglos. Si uno o más de los argumentos de entrada x, mu y sigma son arreglos, los tamaños de los arreglos deben ser los mismos. En este caso, normcdf expande cada entrada del escalar a un arreglo constante del mismo tamaño que las entradas del arreglo. Cada elemento de p es el valor de la cdf de la distribución especificado por los elementos correspondientes de mu y sigma, evaluado en el elemento correspondiente de x.

Ejemplo: [-1,0,3,4]

Tipos de datos: single | double

mu — Media

0 (predeterminado) | valor de escalar | arreglo de valores de escalar

Media de la distribución normal, especificada como valor de escalar o un arreglo de valores de escalar.

Si especifica pCov para calcular el intervalo de confianza [pLo,pUp], entonces mu debe ser un valor de escalar.

Para evaluar la cdf en varios valores, especifique x usando un arreglo. Para evaluar las cdf de varias distribuciones, especifique mu y sigma usando arreglos. Si uno o más de los argumentos de entrada x, mu y sigma son arreglos, los tamaños de los arreglos deben ser los mismos. En este caso, normcdf expande cada entrada del escalar a un arreglo constante del mismo tamaño que las entradas del arreglo. Cada elemento de p es el valor de la cdf de la distribución especificado por los elementos correspondientes de mu y sigma, evaluado en el elemento correspondiente de x.

Ejemplo: [0 1 2; 0 1 2]

Tipos de datos: single | double

sigma — Desviación estándar

1 (predeterminado) | valor de escalar no negativo | arreglo de valores de escalar no negativos

La desviación estándar de la distribución normal, especificada como un valor de escalar no negativo o un arreglo de valores de escalar no negativos.

Si sigma es cero, entonces la salida p es 0 o 1. p es 0 si x es más pequeño que mu, o 1 en caso contrario.

Si especifica pCov para calcular el intervalo de confianza [pLo,pUp], entonces sigma debe ser un valor de escalar.

Para evaluar la cdf en varios valores, especifique x usando un arreglo. Para evaluar las cdf de varias distribuciones, especifique mu y sigma usando arreglos. Si uno o más de los argumentos de entrada x, mu y sigma son arreglos, los tamaños de los arreglos deben ser los mismos. En este caso, normcdf expande cada entrada del escalar a un arreglo constante del mismo tamaño que las entradas del arreglo. Cada elemento de p es el valor de la cdf de la distribución especificado por los elementos correspondientes de mu y sigma, evaluado en el elemento correspondiente de x.

Ejemplo: [1 1 1; 2 2 2]

Tipos de datos: single | double

pCov — Covarianza de estimaciones

Matriz numérica de 2 por 2

Covarianza de las estimaciones mu y sigma, especificada como una matriz de 2 por 2.

Si especifica pCov para calcular el intervalo de confianza [pLo,pUp], entonces x, mu y sigma deben ser valores de escalar.

Puede estimar mu y sigma usando mle, y estimar la covarianza de mu y sigma usando normlike. Para ver un ejemplo, consulte Intervalo de confianza del valor de la cdf normal.

Tipos de datos: single | double

alpha — Nivel de significación

0.05 (predeterminado) | escalar en el rango (0,1)

Nivel de significación del intervalo de confianza, especificado como un escalar en el rango (0,1). El nivel de confianza es 100(1–alpha)%, donde alpha es la probabilidad de que el intervalo de confianza no contenga el valor real.

Ejemplo: 0.01

Tipos de datos: single | double

Argumentos de salida

p — valores de la cdf

valor de escalar | arreglo de valores de escalar

Valores de la cdf, evaluados en los valores de x, devueltos como un valor de escalar o un arreglo de valores escalares. p tiene el mismo tamaño que x, mu y sigma después de cualquier expansión de escalar necesaria. Cada elemento de p es el valor de la cdf de la distribución especificado por los elementos correspondientes de mu y sigma, evaluado en el elemento correspondiente de x.

pLo — Límite de confianza inferior de p

valor de escalar | arreglo de valores de escalar

Límite de confianza inferior de p, devuelto como un valor de escalar o un arreglo de valores de escalar. pLo tiene el mismo tamaño que p.

pUp — Límite de confianza superior de p

valor de escalar | arreglo de valores de escalar

Límite de confianza superior de p, devuelto como un valor de escalar o un arreglo de valores de escalar. pUp tiene el mismo tamaño que p.

Más acerca de

Distribución normal

La distribución normal es una familia de curvas de dos parámetros. El primer parámetro, µ, es la media. El segundo parámetro, σ, es la desviación estándar.

La distribución normal estándar tiene una media de cero y una desviación estándar de la unidad.

La función de distribución acumulativa (cdf) normal es

$$p=F(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^x{e}^{\frac{-{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}}dt,\text{for}x\in ℝ.$$

p es la probabilidad de que una sola observación de una distribución normal con parámetros μ y σ caiga en el intervalo (-∞,x].

Algoritmos

• La función normcdf usa la función de error complementaria erfc. La relación entre normcdf y erfc es

  $$\text{normcdf}(x)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$$

  La función de error complementaria erfc(x) se define como

  $$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt}.$$

• La función normcdf calcula los límites de confianza de p usando el método delta. normcdf(x,mu,sigma) es equivalente a normcdf((x–mu)/sigma,0,1). Por lo tanto, la función normcdf estima la varianza de (x–mu)/sigma usando la matriz de covarianzas de mu y sigma mediante el método delta, y encuentra los límites de confianza de (x–mu)/sigma usando las estimaciones de esta varianza. A continuación, la función transforma los límites a la escala de p. Los límites calculados proporcionan aproximadamente el nivel de confianza deseado al estimar mu, sigma y pCov a partir de muestras grandes.

Funcionalidad alternativa

• normcdf es una función específica para la distribución normal. Statistics and Machine Learning Toolbox™ también ofrece la función genérica cdf, que es compatible con varias distribuciones de probabilidad. Para utilizar cdf, cree un objeto de distribución de probabilidad NormalDistribution y pase el objeto como un argumento de entrada o especifique el nombre de la distribución de probabilidad y sus parámetros. Tenga en cuenta que la función específica de distribución normcdf es más rápida que la función genérica cdf.

• Use la app Probability Distribution Function para crear una gráfica interactiva de la función de distribución acumulativa (cdf) o de la función de densidad de probabilidad (pdf) para obtener una distribución de probabilidad.

Referencias

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++
Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

Esta función es totalmente compatible con los arreglos de GPU. Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

cdf | normpdf | norminv | normfit | normlike | NormalDistribution | erfc

Temas

• Distribución normal