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pdist

Distancia por pares entre pares de observaciones

Sintaxis

D = pdist(X)

D = pdist(X,Distance)

D = pdist(X,Distance,DistParameter)

D = pdist(X,Distance,CacheSize=cache)

D = pdist(X,Distance,DistParameter,CacheSize=cache)

Descripción

D = pdist(X) devuelve la distancia euclidiana entre pares de observaciones de X.

D = pdist(X,Distance) devuelve la distancia usando el método especificado por Distance.

D = pdist(X,Distance,DistParameter) devuelve la distancia usando el método especificado por Distance y DistParameter. Puede especificar DistParameter solo cuando Distance sea 'seuclidean', 'minkowski' o 'mahalanobis'.

D = pdist(X,Distance,CacheSize=cache) o D = pdist(X,Distance,DistParameter,CacheSize=cache) utiliza una caché con un tamaño de cache megabytes para acelerar el cálculo de distancias euclidianas. Este argumento se aplica solo cuando Distance es 'fasteuclidean', 'fastsquaredeuclidean' o 'fastseuclidean'.

Ejemplos

Calcular la distancia euclidiana y convertir el vector de distancia en una matriz

Calcule la distancia euclidiana entre pares de observaciones y convierta el vector de distancia en una matriz usando squareform.

Cree una matriz con tres observaciones y dos variables.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

Calcule la distancia euclidiana.

D = pdist(X)

D = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

Las distancias por pares se establecen en este orden: (2,1), (3,1), (3,2). Puede ubicar la distancia entre las observaciones i y j fácilmente usando squareform.

Z = squareform(D)

Z = 3×3

         0    0.2954    1.0670
    0.2954         0    0.9448
    1.0670    0.9448         0

squareform devuelve una matriz simétrica donde Z(i,j) corresponde a la distancia por pares entre las observaciones i y j. Por ejemplo, puede encontrar la distancia entre las observaciones 2 y 3.

Z(2,3)

ans = 0.9448

Pase Z a la función squareform para reproducir la salida de la función pdist.

y = squareform(Z)

y = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

Las salidas y de squareform y D de pdist son la misma.

Calcular la distancia de Minkowski

Cree una matriz con tres observaciones y dos variables.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

Calcule la distancia de Minkowski con el exponente predeterminado 2.

D1 = pdist(X,'minkowski')

D1 = 1×3

    0.2954    1.0670    0.9448

Calcule la distancia de Minkowski con un exponente de 1, que es igual a la distancia Manhattan.

D2 = pdist(X,'minkowski',1)

D2 = 1×3

    0.3721    1.5036    1.3136

D3 = pdist(X,'cityblock')

D3 = 1×3

    0.3721    1.5036    1.3136

Calcular la distancia por pares con elementos faltantes usando una función de distancia personalizada

Establezca una función de distancia personalizada que ignore las coordenadas con valores NaN y calcule la distancia por pares usando esa función.

Cree una matriz con tres observaciones y dos variables.

rng('default') % For reproducibility
X = rand(3,2);

Supongamos que el primer elemento de la primera observación no está presente.

X(1,1) = NaN;

Calcule la distancia euclidiana.

D1 = pdist(X)

D1 = 1×3

       NaN       NaN    0.9448

Si la observación i o j contienen valores NaN, la función pdist devuelve NaN para la distancia por pares entre i y j. Por tanto, D1(1), D1(2) y las distancias por pares (2,1) y (3,1) son valores NaN.

Establezca una función de distancia personalizada naneucdist que ignore las coordenadas con valores NaN y devuelva la distancia euclidiana.

function D2 = naneucdist(XI,XJ)  
%NANEUCDIST Euclidean distance ignoring coordinates with NaNs
n = size(XI,2);
sqdx = (XI-XJ).^2;
nstar = sum(~isnan(sqdx),2); % Number of pairs that do not contain NaNs
nstar(nstar == 0) = NaN; % To return NaN if all pairs include NaNs
D2squared = sum(sqdx,2,'omitnan').*n./nstar; % Correction for missing coordinates
D2 = sqrt(D2squared);

Calcule la distancia con naneucdist pasando el identificador de la función como un argumento de entrada de pdist.

D2 = pdist(X,@naneucdist)

D2 = 1×3

    0.3974    1.1538    0.9448

Acelerar el cálculo de la distancia euclidiana usando la distancia fasteuclidean

Cree una matriz grande de puntos y, luego, mida el tiempo utilizado por pdist con la métrica de distancia predeterminada "euclidean".

rng default % For reproducibility
N = 10000;
X = randn(N,1000);
D = pdist(X); % Warm up function for more reliable timing information
tic
D = pdist(X);
standard = toc

standard = 13.3730

A continuación, mida el tiempo utilizado por pdist con la métrica de distancia "fasteuclidean". Especifique un tamaño de caché de 10.

D = pdist(X,"fasteuclidean",CacheSize=10); % Warm up function
tic
D2 = pdist(X,"fasteuclidean",CacheSize=10);
accelerated = toc

accelerated = 2.0146

Evalúe por qué factor es más rápido el cálculo acelerado en comparación con el estándar.

standard/accelerated

ans = 6.6380

En este ejemplo, la versión acelerada calcula aproximadamente tres veces más rápido.

Argumentos de entrada

X — Datos de entrada

matriz numérica

Datos de entrada, especificados como una matriz numérica con un tamaño de m por n. Las filas corresponden a observaciones individuales, mientras que las columnas corresponden a variables individuales.

Tipos de datos: single | double

Distance — Métrica de distancia

vector de caracteres | escalar de cadena | identificador de función

Métrica de distancia, especificada como un vector de caracteres, un escalar de cadena o un identificador de función, tal y como se describe en la tabla siguiente.

Valor	Descripción
'euclidean'	Distancia euclidiana (valor predeterminado)
'squaredeuclidean'	Distancia euclidiana cuadrada. (Esta opción solo se ofrece para mejorar la eficiencia. No resuelve la desigualdad triangular).
'seuclidean'	Distancia euclidiana estandarizada. Cada diferencia de las coordenadas entre las observaciones se escala dividiendo por el elemento correspondiente de la desviación estándar, S = std(X,'omitnan'). Use DistParameter para especificar un valor distinto de S.
'fasteuclidean'	Distancia euclidiana calculada utilizando un algoritmo alternativo que ahorra tiempo cuando el número de predictores es al menos 10. En algunos casos, este algoritmo más rápido puede reducir la precisión. Los algoritmos que empiezan con 'fast' no admiten datos dispersos. Para obtener más detalles, consulte Algoritmos.
'fastsquaredeuclidean'	Distancia euclidiana cuadrada calculada utilizando un algoritmo alternativo que ahorra tiempo cuando el número de predictores es al menos 10. En algunos casos, este algoritmo más rápido puede reducir la precisión. Los algoritmos que empiezan con 'fast' no admiten datos dispersos. Para obtener más detalles, consulte Algoritmos.
'fastseuclidean'	Distancia euclidiana estandarizada calculada utilizando un algoritmo alternativo que ahorra tiempo cuando el número de predictores es al menos 10. En algunos casos, este algoritmo más rápido puede reducir la precisión. Los algoritmos que empiezan con 'fast' no admiten datos dispersos. Para obtener más detalles, consulte Algoritmos.
'mahalanobis'	Distancia de Mahalanobis, calculada usando la covarianza de muestra de X, C = cov(X,'omitrows'). Use DistParameter para especificar un valor distinto de C, donde la matriz C es simétrica y definida positiva.
'cityblock'	Distancia Manhattan
'minkowski'	Distancia de Minkowski. El exponente predeterminado es 2. Use DistParameter para especificar un exponente diferente P, donde P es un valor de escalar positivo del exponente.
'chebychev'	Distancia de Chebyshov (diferencia de coordenada máxima)
'cosine'	Uno menos el coseno del ángulo incluido entre puntos (tratados como vectores)
'correlation'	Uno menos la correlación de la muestra entre los puntos (tratados como secuencias de valores)
'hamming'	Distancia de Hamming, que es el porcentaje de coordenadas que difieren
'jaccard'	Uno menos el coeficiente de Jaccard, que es el porcentaje de coordenadas, que no son cero, que difieren
'spearman'	Uno menos la correlación del coeficiente de Spearman entre observaciones (tratadas como secuencias de valores)
@distfun	Identificador de función de la distancia personalizada. Una función de distancia tiene esta forma: function D2 = distfun(ZI,ZJ) % calculation of distance ... donde ZI es un vector de 1 por n que contiene una sola observación. ZJ es una matriz de m2 por n que contiene varias observaciones. distfun debe aceptar una matriz ZJ con un número arbitrario de observaciones. D2 es un vector de distancias de m2 por 1, mientras que D2(k) corresponde a la distancia entre las observaciones ZI y ZJ(k,:). Si sus datos no son dispersos, por lo general, podrá calcular las distancias más rápido usando una métrica de distancia integrada en lugar de un identificador de función.

Para ver las definiciones, consulte Métricas de distancia.

Cuando use 'seuclidean', 'minkowski' o 'mahalanobis', podrá especificar un argumento de entrada adicional DistParameter para controlar estas métricas. También puede usar estas métricas de la misma manera que el resto de métricas con el valor predeterminado de DistParameter.

Ejemplo: 'minkowski'

Tipos de datos: char | string | function_handle

DistParameter — Valores del parámetro de una métrica de distancia

escalar positivo | vector numérico | matriz numérica

Los valores del parámetro de una métrica de distancia, especificados como un escalar positivo, un vector numérico o una matriz numérica. Este argumento solo es válido cuando se especifica Distance como 'seuclidean', 'minkowski' o 'mahalanobis'.

• Si Distance es 'seuclidean', DistParameter es un vector de factores de escalado de cada dimensión, especificado como un vector positivo. El valor predeterminado es std(X,'omitnan').

• Si Distance es 'minkowski', DistParameter es el exponente de la distancia de Minkowski, especificado como un escalar positivo. El valor predeterminado es 2.

• Si Distance es 'mahalanobis', DistParameter es una matriz de covarianzas, especificada cono una matriz numérica. El valor predeterminado es cov(X,'omitrows'). DistParameter debe ser simétrica y definida positiva.

Ejemplo: 'minkowski',3

Tipos de datos: single | double

cache — Tamaño de la matriz de Gram en megabytes

1e3 (predeterminado) | escalar positivo | "maximal"

Tamaño de la matriz de Gram en megabytes, especificado como un escalar positivo o "maximal". La función pdist puede usar CacheSize=cache solo cuando el argumento Distance es 'fasteuclidean', 'fastsquaredeuclidean' o 'fastseuclidean'.

Si cache es "maximal", pdist intenta asignar suficiente memoria para una matriz intermedia entera cuyo tamaño es M por M, donde M es el número de filas de los datos de entrada X. El tamaño de la caché no tiene que ser lo suficientemente grande para una matriz intermedia completa, pero debe ser al menos lo suficientemente grande como para contener un vector de M por 1. De lo contrario, pdist usa el algoritmo estándar para calcular distancias euclidianas.

Si el argumento de la distancia es 'fasteuclidean', 'fastsquaredeuclidean' o 'fastseuclidean' y el valor de cache es demasiado grande o "maximal", pdist puede intentar asignar una matriz de Gram que supere la memoria disponible. En este caso, MATLAB^® muestra un error.

Ejemplo: "maximal"

Tipos de datos: double | char | string

Argumentos de salida

D — Distancias entre pares

vector fila numérico

Distancias entre pares, devueltas como un vector fila numérico con una longitud de m(m–1)/2, correspondiente a los pares de observaciones, donde m es el número de observaciones de X.

Las distancias se fijan en el orden (2,1), (3,1), ..., (m,1), (3,2), ..., (m,2), ..., (m,m–1), es decir, el triángulo inferior inzquierdo de la matriz de distancia de m por m en el orden de la columna. La distancia por pares entre las observaciones i y j está en D((i-1)*(m-i/2)+j-i) de i≤j.

Puede convertir D en una matriz simétrica usando la función squareform. Z = squareform(D) devuelve una matriz de m por m donde Z(i,j) corresponde a la distancia por pares entre las observaciones i y j.

Si las observaciones i o j contienen valores NaN, el valor correspondiente de D es NaN para las funciones de distancia integradas.

D se suele usar como una matriz de diferenciación en la creación de clusters o en el escalado multidimensional. Para obtener más información, consulte Hierarchical Clustering y las páginas de referencia de las funciones cmdscale, cophenet, linkage, mdscale y optimalleaforder. Estas funciones toman D como un argumento de entrada.

Más acerca de

Métricas de distancia

Una métrica de distancia es una función que define la distancia entre dos observaciones. pdist admite varias métricas de distancia: distancia euclidiana, distancia euclidiana estandarizada, distancia de Mahalanobis, distancia Manhattan, distancia de Minkowski, distancia de Chebyshov, distancia del coseno, distancia de correlación, distancia de Hamming, distancia de Jaccard y distancia de Spearman.

Si tenemos una matriz de datos de m por n X, que se trata como vectores fila m (1 por n) x₁, x₂, ..., x_m, las diferentes distancias entre el vector x_s y x_t se definen de esta manera:

• Distancia euclidiana

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)(x_s-x_t{)}^{\prime }.$$

  La distancia euclidiana es un caso especial de la distancia de Minkowski, donde p = 2.

• Distancia euclidiana estandarizada

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)V^{-1}(x_s-x_t{)}^{\prime },$$

  donde V es la matriz diagonal de n por n cuyo elemento diagonal número j es (S(j))², donde S es un vector de factores de escalado de cada dimensión.

• Distancia de Mahalanobis

  $$d_{st}^2=(x_s-x_t)C^{-1}(x_s-x_t{)}^{\prime },$$

  donde C es la matriz de covarianzas.

• Distancia Manhattan

  $$d_{st}={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|x_{sj}-x_{tj}\right|}.$$

  La distancia Manhattan es un caso especial de la distancia de Minkowski, donde p = 1.

• Distancia de Minkowski

  $$d_{st}=\sqrt[p]{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\left|x_{sj}-x_{tj}\right|}^p}}.$$

  Para el caso especial de p = 1, la distancia de Minkowski ofrece la distancia Manhattan. Para el caso especial de p = 2, la distancia de Minkowski ofrece la distancia euclidiana. Para el caso especial de p = ∞, la distancia de Minkowski ofrece la distancia de Chebyshov.

• Distancia de Chebyshov

  $$d_{st}={\max }_j\left\{\left|x_{sj}-x_{tj}\right|\right\}.$$

  La distancia de Chebyshov es un caso especial de la distancia de Minkowski, donde p = ∞.

• Distancia del coseno

  $$d_{st}=1-\frac{x_s{x^{\prime }}_t}{\sqrt{\left(x_s{x^{\prime }}_s\right)\left(x_t{x^{\prime }}_t\right)}}.$$

• Distancia de correlación

  $$d_{st}=1-\frac{\left(x_s-{\overline{x}}_s\right){\left(x_t-{\overline{x}}_t\right)}^{\prime }}{\sqrt{\left(x_s-{\overline{x}}_s\right){\left(x_s-{\overline{x}}_s\right)}^{\prime }}\sqrt{\left(x_t-{\overline{x}}_t\right){\left(x_t-{\overline{x}}_t\right)}^{\prime }}},$$

  donde

  $${\overline{x}}_s=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{x}_{sj}}$$ y $${\overline{x}}_t=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{x}_{tj}}$$.

• Distancia de Hamming

  $$d_{st}=(\#(x_{sj}\ne x_{tj})/n).$$

• Distancia de Jaccard

  $$d_{st}=\frac{\#\left[\left(x_{sj}\ne x_{tj}\right)\cap \left(\left(x_{sj}\ne 0\right)\cup \left(x_{tj}\ne 0\right)\right)\right]}{\#\left[\left(x_{sj}\ne 0\right)\cup \left(x_{tj}\ne 0\right)\right]}.$$

• Distancia de Spearman

  $$d_{st}=1-\frac{\left(r_s-{\overline{r}}_s\right){\left(r_t-{\overline{r}}_t\right)}^{\prime }}{\sqrt{\left(r_s-{\overline{r}}_s\right){\left(r_s-{\overline{r}}_s\right)}^{\prime }}\sqrt{\left(r_t-{\overline{r}}_t\right){\left(r_t-{\overline{r}}_t\right)}^{\prime }}},$$

  donde

  • r_sj es el rango de x_sj llevado a x_1j, x_2j, ...x_mj, tal y como lo calcula tiedrank.

  • r_s y r_t son los vectores rango basados en coordenadas de x_s y x_t, es decir, r_s = (r_s1, r_s2, ... r_sn).

  • $${\overline{r}}_s=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{r}_{sj}}=\frac{\left(n+1\right)}{2}$$.

  • $${\overline{r}}_t=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _j{r}_{tj}}=\frac{\left(n+1\right)}{2}$$.

Algoritmos

Algoritmo de distancia euclidiana rápida

Los valores del argumento Distance que empiezan con fast (como 'fasteuclidean' y 'fastseuclidean') calculan distancias euclidianas utilizando un algoritmo que utiliza memoria adicional para ahorrar tiempo de cálculo. Este algoritmo se denomina "Euclidean Distance Matrix Trick" en Albanie [1] y en otros lugares. Las pruebas internas muestran que este algoritmo ahorra tiempo cuando el número de predictores es al menos 10.

Para encontrar la matriz D de distancias entre todos los puntos x_i y x_j, donde cada x_i tiene n variables, el algoritmo calcula la distancia usando la línea final de las ecuaciones siguientes:

$$\begin{array}{c}{D}_{i,j}^2=\Vert x_i-x_j{\Vert }^2\\ ={(}^{x_i}(x_i-x_j)\\ =\Vert x_i{\Vert }^2-2x_i^T{x}_j+\Vert x_j{\Vert }^2.\end{array}$$

La matriz $$x_i^T{x}_j$$ de la última línea de las ecuaciones se denominada la matriz de Gram. Cuando se calcula y se utiliza la matriz de Gram en lugar de calcular las distancias al cuadrado mediante el cuadrado y la suma, calcular el conjunto de distancias cuadradas es más rápido, pero ligeramente menos estable numéricamente. Para obtener más información, consulte Albanie [1].

Para almacenar la matriz de Gram, el software usa una caché con el tamaño predeterminado de 1e3 megabytes. Puede establecer el tamaño de la caché utilizando el argumento cache. Si el valor de cache es demasiado grande o "maximal", pdist puede intentar asignar una matriz de Gram que supere la memoria disponible. En este caso, MATLAB muestra un error.

Referencias

[1] Albanie, Samuel. Euclidean Distance Matrix Trick. June, 2019. Available at https://www.robots.ox.ac.uk/%7Ealbanie/notes/Euclidean_distance_trick.pdf.

Capacidades ampliadas

Generación de código C/C++

Genere código C y C++ mediante MATLAB® Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• El valor del argumento de entrada de distancia (Distance) debe ser una constante en tiempo de compilación. Por ejemplo, para usar la distancia de Minkowski, incluya coder.Constant('Minkowski') en el valor -args de codegen.

• El valor del argumento de entrada de distancia (Distance) no puede ser una función de distancia personalizada.

• pdist no admite la generación de código para cálculos rápidos de distancia euclidiana, lo que significa que no es compatible con las métricas de distancia cuyos nombres empiezan con fast (por ejemplo, 'fasteuclidean').

• El código generado de pdist usa parfor (MATLAB Coder) para crear bucles que se ejecutan en paralelo en las plataformas de núcleos múltiples de memoria compartida compatibles en el código generado. Si su compilador no es compatible con la interfaz de la aplicación de multiprocesamiento abierto (OpenMP) o desactiva la biblioteca OpenMP, MATLAB Coder™ trata los bucles parfor como bucles for. Para encontrar compiladores compatibles, consulte compiladores compatibles. Para desactivar la biblioteca OpenMP, establezca la propiedad EnableOpenMP del objeto de configuración como false. Para obtener más detalles, consulte coder.CodeConfig (MATLAB Coder).

Para obtener más información sobre la generación de código, consulte Introduction to Code Generation y General Code Generation Workflow.

Generación de código de GPU

Genere código CUDA® para GPU NVIDIA® mediante GPU Coder™.

Notas y limitaciones de uso:

• Los argumentos de entrada de distancia compatibles (Distance) para el código CUDA optimizado son 'euclidean', 'squaredeuclidean', 'seuclidean', 'cityblock', 'minkowski', 'chebychev', 'cosine', 'correlation', 'hamming' y 'jaccard'.

• Distance no puede ser una función de distancia personalizada.

• Distance debe ser una constante en tiempo de compilación.

Arreglos GPU

Acelere código mediante la ejecución en una unidad de procesamiento gráfico (GPU) mediante Parallel Computing Toolbox™.

Notas y limitaciones de uso:

• No puede especificar el argumento de entrada Distance como "fasteuclidean", "fastsquaredeuclidean", "fastseuclidean" o una función de distancia personalizada.

Para obtener más información, consulte Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

R2023a: Distancia euclidiana rápida usando una caché

Las métricas de distancia 'fasteuclidean', 'fastseuclidean' y 'fastsquaredeuclidean' aceleran el cálculo de las distancias euclidianas utilizando una caché y un algoritmo diferente (consulte Algoritmos). Establezca el tamaño de la caché utilizando el argumento cache.

Consulte también

cluster | clusterdata | cmdscale | cophenet | dendrogram | inconsistent | linkage | pdist2 | silhouette | squareform

Temas

• Choose Cluster Analysis Method
• Hierarchical Clustering