Distribución binomial

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Visión general

La distribución binomial es una familia de curvas de dos parámetros. La distribución binomial se utiliza para modelar el número total de éxitos en un número fijo de pruebas independientes que tienen la misma probabilidad de éxito, como modelar la probabilidad de un número determinado de caras en diez lanzamientos de una moneda justa.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ ofrece distintas formas de trabajar con la distribución binomial.

Cree un objeto de distribución de probabilidad BinomialDistribution ajustando una distribución de probabilidad a datos de muestra (fitdist) o especificando valores de parámetros (makedist). Después, utilice las funciones del objeto para evaluar la distribución, generar números aleatorios, etc.
Trabaje con la distribución binomial de forma interactiva utilizando la app Distribution Fitter. Puede exportar un objeto de la app y utilizar las funciones del objeto.
Utilice funciones específicas de la distribución (binocdf, binopdf, binoinv, binostat, binofit y binornd) con parámetros de distribución especificados. Las funciones específicas de la distribución pueden aceptar parámetros de varias distribuciones binomiales.
Utilice funciones de distribución genéricas (cdf, icdf, pdf, random) con un nombre de distribución específico ('Binomial') y parámetros.

Parámetros

La distribución binomial utiliza los siguientes parámetros.

Parámetro	Descripción	Soporte
N	Número de pruebas	Entero positivo
p	Probabilidad de éxito en una sola prueba	$0 \leq p \leq 1$

La suma de dos variables aleatorias binomiales que tienen ambas el mismo parámetro p es también una variable aleatoria binomial donde N es igual a la suma del número de pruebas.

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución binomial es

$f (x | N, p) = (\begin{matrix} N \\ x \end{matrix}) p^{x} {(1 - p)}^{N - x}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

, donde x es el número de aciertos en N pruebas de un proceso Bernoulli con la probabilidad de éxito p. El resultado es la probabilidad de x éxitos en N pruebas. En las distribuciones discretas, la pdf también se conoce como la función de masa de probabilidad (pmf).

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la pdf de la distribución binomial.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulada (cdf) de la distribución binomial es

$F (x | N, p) = \sum_{i = 0}^{x} (\begin{matrix} N \\ i \end{matrix}) p^{i} {(1 - p)}^{N - i}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

, donde x es el número de éxitos en N pruebas de un proceso Bernoulli con la probabilidad de éxito p. El resultado es la probabilidad de un máximo de x éxitos en N pruebas.

Para ver un ejemplo, consulte Calcular la cdf de la distribución binomial.

Estadística descriptiva

La media de la distribución binomial es Np.

La varianza de la distribución binomial es Np(1 – p).

Ejemplo

Ajustar la distribución binomial a los datos

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Genere un número aleatorio binomial que cuente el número de éxitos en 100 pruebas con la probabilidad de éxito de 0.9 en cada prueba.

x = binornd(100,0.9)

x = 85

Ajuste una distribución binomial a los datos usando fitdist.

pd = fitdist(x,'Binomial','NTrials',100)

pd = 
  BinomialDistribution

  Binomial distribution
    N =  100
    p = 0.85   [0.764692, 0.913546]

fitdist devuelve un objeto BinomialDistribution. El intervalo que aparece junto a p es el intervalo de confianza del 95% que estima p.

Estime el parámetro p usando las funciones de distribución.

[phat,pci] = binofit(x,100) % Distribution-specific function

phat = 0.8500

pci = 1×2

    0.7647    0.9135

[phat2,pci2] = mle(x,'distribution','Binomial',"NTrials",100) % Generic distribution function

phat2 = 0.8500

pci2 = 2×1

    0.7647
    0.9135

Calcular la pdf de la distribución binomial

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Calcule la pdf de la distribución binomial con 10 pruebas y la probabilidad de éxito de 0.5.

x = 0:10;
y = binopdf(x,10,0.5);

Represente la pdf con barras de una anchura de 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Calcular la cdf de la distribución binomial

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Calcule la cdf de la distribución binomial con 10 pruebas y la probabilidad de éxito de 0.5.

x = 0:10;
y = binocdf(x,10,0.5);

Represente la cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Comparar las pdf de la distribución binomial y normal

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Cuando N es muy grande, la distribución binomial con parámetros N y p puede aproximarse a la distribución normal con una media de N*p y una varianza de N*p*(1–p) siempre que p no sea demasiado grande o demasiado pequeño.

Calcule la pdf de la distribución binomial contando el número de éxitos en 50 pruebas con la probabilidad de 0.6 en una sola prueba.

N = 50;
p = 0.6;
x1 = 0:N;
y1 = binopdf(x1,N,p);

Calcule la pdf de la distribución normal correspondiente.

mu = N*p;
sigma = sqrt(N*p*(1-p));
x2 = 0:0.1:N;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Represente las pdf en el mismo eje.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Normal pdfs')
legend('Binomial Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

La pdf de la distribución normal se aproxima de manera muy cercana a la pdf de la distribución binomial.

Comparar las pdf de la distribución binomial y de Poisson

Abrir script en vivo

Cuando p es muy pequeño, la distribución binomial con parámetros N y p puede aproximarse a la distribución de Poisson con una media de N*p, siempre que N*p también sea pequeña.

Calcule la pdf de la distribución binomial contando el número de éxitos en 20 pruebas con la probabilidad de éxito de 0.05 en una sola prueba.

N = 20;
p = 0.05;
x = 0:N;
y1 = binopdf(x,N,p);

Calcule la pdf de la distribución de Poisson correspondiente.

mu = N*p;
y2 = poisspdf(x,mu);

Represente las pdf en el mismo eje.

figure
bar(x,[y1; y2])
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Poisson pdfs')
legend('Binomial Distribution','Poisson Distribution','location','northeast')

La pdf de la distribución de Poisson se aproxima de manera muy cercana a la pdf de la distribución binomial.

Distribuciones relacionadas

Distribución Bernoulli: la distribución Bernoulli es una distribución discreta de un parámetro que modela el éxito de una única prueba y se presenta como una distribución binomial con N = 1.
Distribución multinomial: la distribución multinomial es una distribución discreta que generaliza la distribución binomial cuando cada prueba tiene más de dos resultados posibles.
Distribución normal — La distribución normal es una distribución continua de dos parámetros que tiene los parámetros μ (media) y σ (desviación estándar). A medida que N aumenta, una distribución normal con µ = Np y σ² = Np(1 – p) puede aproximarse a la distribución binomial. Consulte Comparar las pdf de la distribución binomial y normal.
Distribución de Poisson — La distribución Poisson es una distribución discreta de un parámetro que toma valores enteros no negativos. El parámetro λ es la media y la varianza de la distribución. La distribución de Poisson es el caso limitante de una distribución binomial donde N se acerca a infinito y p a cero mientras Np = λ. Consulte Comparar las pdf de la distribución binomial y de Poisson.

Referencias

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[3] Loader, Catherine. Fast and Accurate Computation of Binomial Probabilities. July 9, 2000.

Consulte también