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Distribución binomial

Visión general

La distribución binomial modela el número total de éxitos en ensayos repetidos de una población infinita bajo las siguientes condiciones:

  • Sólo dos resultados son posibles en cada una de las pruebas.n

  • La probabilidad de éxito de cada ensayo es constante.

  • Todas las pruebas son independientes entre sí.

Parámetros

La distribución binomial utiliza los siguientes parámetros.

ParámetroDescripciónApoyo
NNúmero de ensayosentero positivo
pProbabilidad de éxito0p1

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) es

f(x|N,p)=(Nx)px(1p)Nx;x=0,1,2,...,N,

Dónde está el número de éxitos en las pruebas de un proceso de Bernoulli con probabilidad de éxito.xnp

Media y varianza

La media es

mean=np.

La varianza es

var=np(1p).

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial es una generalización de la, lo que permite una serie de ensayos superiores a 1.La distribución de Bernoullin La distribución binomial generaliza a la cuando hay más de dos posibles resultados para cada ensayo.Distribución multinomial

Ejemplo

Supongamos que está recopilando datos de un proceso de fabricación de widgets y registra el número de reproductores dentro de las especificaciones en cada lote de 100. Puede interesarle la probabilidad de que un widget individual esté dentro de las especificaciones. La estimación de parámetros es el proceso de determinar el parámetro, de la distribución binomial que mejor se ajusta a estos datos en cierto sentido.p

Un criterio popular de bondad es maximizar la función de probabilidad. La probabilidad tiene la misma forma que el pdf binomial anterior. Pero para el PDF, los parámetros (y) son constantes conocidas y la variable es.npx La función de probabilidad invierte los roles de las variables. Aquí, los valores de muestra (el de) ya se observan.x Así que son las constantes fijas. Las variables son los parámetros desconocidos. MLE implica calcular el valor de que dan la mayor probabilidad dado el conjunto particular de datos.p

La función devuelve los MLEs y los intervalos de confianza para los parámetros de la distribución binomial.binofit Aquí está un ejemplo usando los números aleatorios de la distribución binomial con 100 y 0,9.n = p = 

rng default;  % for reproducibility r = binornd(100,0.9)
r = 85 
[phat, pci] = binofit(r,100)
phat = 0.8500 
pci = 1×2

    0.7647    0.9135

El MLE para el parámetro es 0,8800, comparado con el valor verdadero de 0,9.p El intervalo de confianza 95% para va de 0,7998 a 0,9364, que incluye el valor verdadero.p En este ejemplo de maquillaje usted conoce el "verdadero valor" de.p En la experimentación no lo hace.

Los siguientes comandos generan una gráfica del binomial PDF para = 10 y = 1/2.np

x = 0:10; y = binopdf(x,10,0.5); plot(x,y,'+')

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