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Student ' t Distribution

Visión general

La distribución del estudiante es una familia de curvas en función de un único parámetro (los grados de libertad).tν

Parámetros

La distribución de Student utiliza el siguiente parámetro.t

ParámetroDescripción
ν = 1, 2, 3,...Grados de libertad

Función de densidad de probabilidad

Definición

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución del estudiante est

y=f(x|ν)=Γ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+x2ν)ν+12

donde están los grados de libertad y Γ (·) es la función gamma.ν El resultado es la probabilidad de observar un valor particular de la distribución de un estudiante con grados de libertad.yxtν

conspirar

Esta gráfica muestra cómo cambiar el valor del parámetro grados de libertad altera la forma del pdf.ν Se usa para calcular el PDF para valores iguales a 0 a 10, para tres valores diferentes de.tpdfxν A continuación, trace los tres archivos PDF en la misma figura para una comparación visual.

x = [0:.1:10]; y1 = tpdf(x,5);   % For nu = 5 y2 = tpdf(x,25);  % For nu = 25 y3 = tpdf(x,50);  % For nu = 50  figure; plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-') hold on plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.') plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--') legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'}) hold off

Generación aleatoria de números

Se usa para generar números aleatorios a partir de la distribución del alumno.trndt Por ejemplo, lo siguiente genera un número aleatorio de una distribución de Student con grados de libertad igual a 10.tν

nu = 10; r = trnd(nu)
r = 1.0585 

Relación con otras distribuciones

A medida que los grados de libertad van al infinito, la distribución se aproxima a la distribución normal estándar.νt

Si se trata de una muestra aleatoria de tamaño de una distribución normal con media, la estadísticaxnμ

t=x¯μs/n

Dónde x¯ es la media de la muestra y es la desviación estándar de la muestra, tiene la distribución del estudiante con – 1 grados de libertad.stn

La distribución de Cauchy es una distribución de Student con grados de libertad igual a 1.tν La distribución de Cauchy tiene una media indefinida y una varianza.

Función de distribución acumulativa

Definición

La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución de Student est

p=F(x|ν)=xΓ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+t2ν)ν+12dt

donde están los grados de libertad y Γ (·) es la función gamma.ν El resultado es la probabilidad de que una sola observación de la distribución con grados de libertad se caiga en el intervaloptν [–∞, x].

conspirar

Esta gráfica muestra cómo el cambio del valor del parámetro altera la forma de la CDF.ν Se utiliza para calcular la CDF para valores igual a 0 a 10, para tres valores diferentes de.tcdfxν A continuación, trace los tres CDFS en la misma figura para una comparación visual.

x = [0:.1:10]; y1 = tcdf(x,5);   % For nu = 5 y2 = tcdf(x,25);  % For nu = 25 y3 = tcdf(x,50);  % For nu = 50  figure; plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-') hold on plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.') plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--') legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'}) hold off

CDF inversa

Se utiliza para calcular el CDF inverso de la distribución del estudiante.tinvt

p = .95; nu = 50; x = tinv(p,nu)
x = 1.6759 

Media y varianza

La media de la distribución del estudiante est

mean=0

para grados de libertad superiores a 1.ν Si es igual a 1, entonces la media es indefinida.ν

La varianza de la distribución del estudiante est

var=νν2

para grados de libertad superiores a 2.ν Si es menor o igual que 2, entonces la varianza es indefinida.ν

Se usa para calcular la media y la varianza de la distribución de un estudiante.tstatt Por ejemplo, a continuación se calcula la media y la varianza de la distribución de un alumno con grados de libertad iguales a 10.tν

nu = 10; [m,v] = tstat(nu)
m = 0 
v = 1.2500 

Ejemplo

Comparar PDF de estudiantes y distribución normalt

La distribución del estudiante es una familia de curvas en función de un único parámetro (los grados de libertad).tν A medida que los grados de libertad van al infinito, la distribución se aproxima a la distribución normal estándar.νt Calcule los archivos PDF para la distribución del alumno con el parámetro y la distribución del alumno con el parámetro.tnu = 5tnu = 25 Calcule el PDF para una distribución normal estándar.

x = -5:0.1:5; y1 = tpdf(x,5); y2 = tpdf(x,15); z = normpdf(x,0,1);

Trace los PDF del alumno y el pdf normal estándar en la misma figura.t El pdf estándar normal tiene colas más cortas que los PDF del estudiante.t

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-') legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...     'Student''s t Distribution with \nu=25', ...     'Standard Normal Distribution','Location','best') title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

Consulte también

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Ejemplos relacionados

Más acerca de