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Distribución gamma

Definición

El pdf gamma es

y=f(x|a,b)=1baΓ(a)xa1exb

donde Γ (·) es la función gamma, es un parámetro de forma, es un parámetro de escala.ab

Fondo

La distribución gamma modela las sumas de variables aleatorias distribuidas exponencialmente.

La familia de distribución gamma se basa en dos parámetros. Las distribuciones de Chi-cuadrada y exponencial, que son elementos secundarios de la distribución gamma, son distribuciones de un parámetro que fijan uno de los dos parámetros de gamma.

La distribución gamma tiene la siguiente relación con el función gamma incompleta.

f(x|a,b)=gammainc(xb,a)

Cuando es grande, la distribución gamma se aproxima estrechamente a una distribución normal con la ventaja de que la distribución gamma tiene densidad sólo para números reales positivos.a

Parámetros

Suponga que está probando los chips de memoria de la computadora y recopilando datos en sus vidas. Usted asume que estas vidas siguen una distribución gamma. Desea saber cuánto tiempo puede esperar que el chip de memoria de la computadora promedio para durar. La estimación del parámetro es el proceso de determinar los parámetros de la distribución gamma que mejor se ajustan a estos datos en cierto sentido.

Un criterio popular de bondad es maximizar la función de probabilidad. La probabilidad tiene la misma forma que la gamma PDF anterior. Pero para el PDF, los parámetros son constantes conocidas y la variable es.x La función de probabilidad invierte los roles de las variables. Aquí, los valores de muestra (el de) ya se observan.x Así que son las constantes fijas. Las variables son los parámetros desconocidos. MLE implica el cálculo de los valores de los parámetros que dan la mayor probabilidad dado el conjunto particular de datos.

La función devuelve los MLEs y los intervalos de confianza para los parámetros de la distribución gamma.gamfit Aquí está un ejemplo usando números aleatorios de la distribución gamma con 10 y 5.a = b = 

lifetimes = gamrnd(10,5,100,1); [phat, pci] = gamfit(lifetimes)
phat =         10.9821    4.7258  pci =      7.4001    3.1543    14.5640    6.2974

Nota = y =phat(1)âphat(2) b^. El MLE para el parámetro es 10,98, comparado con el valor real de 10.a El intervalo de confianza 95% para va de 7,4 a 14,6, que incluye el valor verdadero.a

Del mismo modo el MLE para el parámetro es 4,7, comparado con el valor verdadero de 5.b El intervalo de confianza 95% para va de 3,2 a 6,3, que también incluye el valor verdadero.b

En las pruebas de vida que no conoce el verdadero valor de y por lo que es bueno tener un intervalo de confianza en los parámetros para dar un rango de valores probables.a b

Ejemplos

Compare los archivos PDF de gamma y distribución normal

La distribución gamma tiene el parámetro de forma

<math>
<mi mathvariant="italic">a</mi>
</math>
y el parámetro de escala
<math>
<mi mathvariant="italic">b</mi>
</math>
. Para una gran
<math>
<mi mathvariant="italic">a</mi>
</math>
, la distribución gamma se aproxima estrechamente a la distribución normal con la media
<math display="inline">
<mrow>
<mi>μ</mi>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="italic">ab</mi>
</mrow>
</math>
y la varianza
<math display="inline">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mi>σ</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi mathvariant="italic">a</mi>
<msup>
<mrow>
<mi mathvariant="italic">b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
. Calcule el PDF de una distribución gamma con parámetros y.A = 100B = 10 Para la comparación, también calcule el PDF de una distribución normal con parámetros y.mu = 1000sigma = 100

x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); y_gam = gampdf(x,100,10); y_norm = normpdf(x,1000,100);

Trace los archivos PDF de la distribución gamma y la distribución normal en la misma figura.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.') title('Gamma and Normal pdfs') legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

Referencias

[1] Hahn, Gerald J., and S. S. Shapiro. Statistical Models in Engineering. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1994, p. 88.

Consulte también

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